int_0^1(esqrtx)/sqrtx=? 

প্রশ্ন: \( \int_{0}^{1} \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx = ? \)

সমাধান:

ধরি, \( u = \sqrt{x} \). তাহলে, \( x = u^2 \).

অতএব, \( dx = 2u \, du \).

সীমা পরিবর্তন:

• যখন \( x = 0 \), তখন \( u = \sqrt{0} = 0 \).
• যখন \( x = 1 \), তখন \( u = \sqrt{1} = 1 \).

সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\( \int_{0}^{1} \frac{e^{u}}{u} (2u \, du) = 2 \int_{0}^{1} e^{u} \, du \)

\( = 2 [e^{u}]_{0}^{1} \)

\( = 2 (e^{1} - e^{0}) \)

\( = 2 (e - 1) \)

অতএব, \( \int_{0}^{1} \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx = 2(e-1) \) 🥳