int a^x dx =?

প্রশ্ন: \(\int a^x\, dx = ?\)

উত্তর:

\[ \int a^x\, dx \] আমরা জানি যে, \(a^x = e^{x \ln a}\), তাই প্রথমে পরিবর্তিত করি: \[ \int a^x\, dx = \int e^{x \ln a}\, dx \] এখন, \(u = x \ln a\), তাহলে \(du = \ln a\, dx\), অর্থাৎ: \[ dx = \frac{du}{\ln a} \] সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি হয়: \[ \int e^{u} \frac{du}{\ln a} = \frac{1}{\ln a} \int e^{u}\, du \] ইন্টিগ্রালটি সমাধান করলে: \[ \frac{1}{\ln a} e^{u} + C \] মূল অক্ষরে ফিরিয়ে আনলে: \[ \frac{1}{\ln a} e^{x \ln a} + C = \frac{1}{\ln a} a^{x} + C \] অতএব, উত্তরের পূর্ণ রূপ হলো: \[ \boxed{\int a^x\, dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C} \]