intdx/(x(1+lnx)^2=? 

প্রশ্ন: \(\displaystyle \int \frac{dx}{x(1+\ln x)^2}\)

উত্তর: \(\displaystyle -\frac{1}{1+\ln x} + C\)

সমাধান:

আমরা প্রথমে সাবস্টিটিউশন করি:
তৎকালীন, \( u = 1 + \ln x \)
অতএব, \( du = \frac{1}{x} dx \)

এখানে, \( dx = x du \), কিন্তু \( x = e^{u-1} \) থেকে,
অতএব, \( dx = e^{u-1} du \)

অতএব, মূল ইনটিগ্রালটি লিখতে পারি:
\[
\int \frac{dx}{x(1+\ln x)^2} = \int \frac{e^{u-1} du}{e^{u-1} u^2} = \int \frac{du}{u^2}
\]

এখন, \( \int u^{-2} du \) সলভ করি:
\[
\int u^{-2} du = - u^{-1} + C
\]

অতএব,
\[
- \frac{1}{u} + C
\]

অবশেষে, \( u = 1 + \ln x \), তাই:
\[
- \frac{1}{1 + \ln x} + C
\]