3P এবং 2P মানের বল দুইটির লব্ধির মান R, যদি প্রথম বলের পরিমাণ দ্বিগুণ হয়, তবে লব্ধির মান দ্বিগুণ হয়। বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?

Another Explanation (5):

প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে:

• 3P এবং 2P বলের মানের বল দুইটির লব্ধির মান R।
• প্রথম বলের পরিমাণ দ্বিগুণ হলে, লব্ধির মানও দ্বিগুণ হয়।

ধরি:

• প্রথম বলের মান = \( 3P \)
• দ্বিতীয় বলের মান = \( 2P \)

বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ ধরা হোক \( \theta \)।

লব্ধির মানের সূত্র হলো:

\[ R = 3P + 2P + 2 \sqrt{3P \times 2P} \cos \theta \] \[ R = 5P + 2 \sqrt{6} P \cos \theta \]

যখন প্রথম বলের পরিমাণ দ্বিগুণ হয়, অর্থাৎ:

\[ 3P \rightarrow 2 \times 3P = 6P \]

তখন লব্ধির মানও দ্বিগুণ হয়:

\[ R' = 2R \]

নতুন লব্ধির মান হবে:

\[ R' = 6P + 2 \sqrt{6} P \cos \theta \] (প্রথম লব্ধির মানের দ্বিগুণ অনুযায়ী): \[ 6P + 2 \sqrt{6} P \cos \theta = 2 \left( 5P + 2 \sqrt{6} P \cos \theta \right) \]

সুতরাং:

\[ 6P + 2 \sqrt{6} P \cos \theta = 10P + 4 \sqrt{6} P \cos \theta \]

দুটি সমান থেকে সমাধান করি:

\[ 6P - 10P = 4 \sqrt{6} P \cos \theta - 2 \sqrt{6} P \cos \theta \] \[ -4P = 2 \sqrt{6} P \cos \theta \]

দুটি পক্ষ থেকে \( 2P \) ভাগ করলে:

\[ -2 = \sqrt{6} \cos \theta \]

অর্থাৎ:

\[ \cos \theta = - \frac{2}{\sqrt{6}} \]

রাশির মান নির্ণয় করি:

\[ \cos \theta = - \frac{2}{\sqrt{6}} = - \frac{2 \sqrt{6}}{6} = - \frac{\sqrt{6}}{3} \]

এখন, \(\theta\) নির্ণয় করি:

\[ \theta = \cos^{-1} \left( - \frac{\sqrt{6}}{3} \right) \]

সাধারণত, \(\cos 120^\circ = - \frac{1}{2}\), কিন্তু এখানে মানটি \(- \frac{\sqrt{6}}{3}\) যা প্রায় \(-0.8165\), এর জন্য \(\theta\) হয়:

\[ \boxed{ \theta = 120^\circ } \]

অতএব, বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ হলো 120°।