যদি \( \vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k} \), \( \vec{B} = m\hat{i} + 2\hat{j} + 10\hat{k} \) হলে \( m \) এর মান কত হলে ভেক্টরদ্বয় পরষ্পরের উপর লম্ব হবে?

যদি A = 2î + 3ï - 5ê এবং B = mî + 2ï + 10ê হলে m এর মান কত হলে ভেক্টরদ্বয় পরষ্পরের উপর লম্ব হবে?

1. 12 (Incorrect)
2. 16 (Incorrect)
3. 18 (Incorrect)
4. 22 (Correct)

ব্যাখ্যা:

দুটি ভেক্টর A এবং B পরস্পর লম্ব হবে যদি তাদের ডট গুণফল শূন্য হয়। অর্থাৎ, A ⋅ B = 0।

ভেক্টরদ্বয়ের ডট গুণফল নির্ণয়

ভেক্টর A = 2î + 3ï - 5ê

ভেক্টর B = mî + 2ï + 10ê

ডট গুণফল A ⋅ B = (2 × m) + (3 × 2) + (-5 × 10)

A ⋅ B = 2m + 6 - 50

A ⋅ B = 2m - 44

লম্ব হওয়ার শর্ত প্রয়োগ

যেহেতু ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব, তাই A ⋅ B = 0 হতে হবে।

2m - 44 = 0

m এর মান নির্ণয়

এখন আমরা m এর মান বের করব:

2m = 44

m = 44 / 2

m = 22

বিকল্পগুলির বিশ্লেষণ

• A. 12: যদি m = 12 হয়, A ⋅ B = 2(12) - 44 = 24 - 44 = -20 ≠ 0।
• B. 16: যদি m = 16 হয়, A ⋅ B = 2(16) - 44 = 32 - 44 = -12 ≠ 0।
• C. 18: যদি m = 18 হয়, A ⋅ B = 2(18) - 44 = 36 - 44 = -8 ≠ 0।
• D. 22: যদি m = 22 হয়, A ⋅ B = 2(22) - 44 = 44 - 44 = 0।

সিদ্ধান্ত

ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হওয়ার জন্য m এর মান 22 হতে হবে।

সঠিক উত্তর: D. 22

ভেক্টরদ্বয় লম্ব হওয়ার শর্ত এবং \( m \) এর মান নির্ণয়

দুটি ভেক্টর \(\vec{A}\) এবং \(\vec{B}\) পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত হলো তাদের ডট গুণফল শূন্য হওয়া, অর্থাৎ \(\vec{A} \cdot \vec{B} = 0\)।

এখানে, \(\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}\) এবং \(\vec{B} = m\hat{i} + 2\hat{j} + 10\hat{k}\)

সুতরাং, \(\vec{A} \cdot \vec{B} = (2\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}) \cdot (m\hat{i} + 2\hat{j} + 10\hat{k})\)

ডট গুণফল করার নিয়ম অনুযায়ী:

\(\vec{A} \cdot \vec{B} = (2 \times m) + (3 \times 2) + (-5 \times 10)\)

\(= 2m + 6 - 50\)

\(= 2m - 44\)

যেহেতু ভেক্টরদ্বয় লম্ব, তাই \(\vec{A} \cdot \vec{B} = 0\)

অতএব, \(2m - 44 = 0\)

বা, \(2m = 44\)

সুতরাং, \(m = \frac{44}{2} = 22\)

অতএব, \(m\) এর মান 22 হলে ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে। 🎉