∫(x) = 2x² – 7x + 7, g(x) = x 

∫(x). g(x) = 0  সমীকরণের মূলগুলো α, β, γ হলে, ∑α² এর মান—

Another Explanation (5): প্রথমে দেওয়া হয়েছে: \[ \int(x) = 2x^2 - 7x + 7 \] এবং, \[ g(x) = x \int(x) = x (2x^2 - 7x + 7) \] অর্থাৎ, \[ g(x) = x (2x^2 - 7x + 7) = 2x^3 - 7x^2 + 7x \] প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে যে, \(g(x) = 0\) এর মূলগুলো \(\alpha, \beta, \gamma\)। সুতরাং, মূলগুলো হলো \(g(x)\) এর সমাধান। অর্থাৎ, \[ 2x^3 - 7x^2 + 7x = 0 \] প্রথমে, সাধারণ গুণাঙ্ক \(x\) বাইরে নেওয়া যায়: \[ x (2x^2 - 7x + 7) = 0 \] অতএব, মূলগুলো হলো: \[ x = 0, \quad \text{অথবা} \quad 2x^2 - 7x + 7 = 0 \] তাহলে, মূলগুলো হলো: \[ \alpha = 0, \quad \beta, \quad \gamma \] এখন, দ্বিতীয় সমীকরণটি \(2x^2 - 7x + 7 = 0\) এর মূলগুলো হবে \(\beta, \gamma\), যা শুধুমাত্র \(x\)-সমাধান। ### মূলের সংজ্ঞা অনুযায়ী: - মূলের যোগফল: \[ \alpha + \beta + \gamma = \frac{7}{2} \] - মূলের গুণফল: \[ \alpha \beta \gamma = - \frac{7}{2} \] যেহেতু, \(\alpha = 0\), তাহলে: \[ 0 + \beta + \gamma = \frac{7}{2} \Rightarrow \beta + \gamma = \frac{7}{2} \] আমাদের লক্ষ্য হলো \(\sum \alpha^2\) অর্থাৎ: \[ \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 \] এটি হিসাব করতে পারি: \[ \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha) \] প্রথমত, \(\alpha + \beta + \gamma = \frac{7}{2}\)। অপরদিকে, \(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha\) এর মান বের করতে হবে। জানি: \[ 2x^2 - 7x + 7 = 0 \] এর মূলের জন্য ভিন্ন ভিন্ন ভেরিয়েবল দিয়ে সম্পর্কগুলি: - শৈল্য সূত্র অনুযায়ী: \[ \text{Sum of roots} = \beta + \gamma = \frac{7}{2} \] \[ \text{Product of roots} = \beta \gamma = \frac{7}{2} \] \[ \text{Sum of product of roots two at a time} = \beta \gamma + \beta \alpha + \gamma \alpha \] তবে, \(\alpha = 0\) থাকায়: \[ \beta \alpha + \gamma \alpha = 0 \] অর্থাৎ, \[ \beta \gamma + (\beta + \gamma) \alpha = \beta \gamma + 0 = \frac{7}{2} \] তাই, \[ \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{7}{2} \] এখন, মূলের স্কয়ার যোগফল: \[ \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2 (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha) \] আমরা জানি: \[ \alpha + \beta + \gamma = \frac{7}{2} \] এবং, \[ \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{7}{2} \] সুতরাং, \[ \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = \left(\frac{7}{2}\right)^2 - 2 \times \frac{7}{2} = \frac{49}{4} - 7 = \frac{49}{4} - \frac{28}{4} = \frac{21}{4} \] ### চূড়ান্ত উত্তর: \[ \boxed{\frac{21}{4}} \] **অতএব, \(\sum \alpha^2 = \frac{21}{4}\).**