নিচের কোন ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক?

ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক কিনা তা যাচাই:

দেওয়া আছে, \(f(x) = \frac{3x+2}{5}\)

এক-এক (One-to-one) প্রমাণ:

ধরি, \(f(x_1) = f(x_2)\)

তাহলে, \(\frac{3x_1+2}{5} = \frac{3x_2+2}{5}\)

সুতরাং, \(3x_1 + 2 = 3x_2 + 2\)

অতএব, \(3x_1 = 3x_2\)

সুতরাং, \(x_1 = x_2\)

যেহেতু \(f(x_1) = f(x_2)\) হলে \(x_1 = x_2\) হয়, তাই ফাংশনটি এক-এক। ✅

সার্বিক (Onto) প্রমাণ:

ধরি, \(y = \frac{3x+2}{5}\)

এখন, \(x\) কে \(y\) এর মাধ্যমে প্রকাশ করি:

\(5y = 3x + 2\)

\(3x = 5y - 2\)

\(x = \frac{5y-2}{3}\)

যেহেতু প্রতিটি \(y\) এর জন্য একটি \(x\) বিদ্যমান (অর্থাৎ, \(x\) এর মান বাস্তব), তাই ফাংশনটি সার্বিক। ✅

সিদ্ধান্ত:

যেহেতু ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক উভয়ই, তাই এটি একটি বাইজেক্টিভ ফাংশন। 🎉