??দি \( M = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 5 \end{bmatrix} \) হয়, তবে \( M^{-1} \) এর মান কোনটি?

Another Explanation (5):

সমাধানঃ

প্রথমে, মূল ম্যাট্রিক্স:

\[ M = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 5 \end{bmatrix} \]

নির্ণয় করি ডিটারমিনেন্ট:

\[ \det(M) = (1)(5) - (-2)(-3) = 5 - 6 = -1 \]

যেহেতু ডিটারমিনেন্ট শূন্য নয়, তাই ইনভার্সেবল।

ইনভার্সের জন্য সূত্র:

\[ M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \times \text{adj}(M) \]

অ্যাজেন্টেন্সি ম্যাট্রিক্স (adjugate):

\[ \text{adj}(M) = \text{প্রতিস্থাপন (cofactor) matrices এর ট্রান্সপোজ} \]

প্রতিটি উপাদানের জন্য কোফ্যাক্ট গণনা:

1. For element (1,1):
• Minor:
• Exclude row 1, column 1: \(\begin{bmatrix} -3 & 5 \end{bmatrix}\)
• Determinant:
• \(-3\)
• কোফ্যাক্ট:
• \(+1 \times (-3) = -3\)
2. For element (1,2):
• Minor:
• Exclude row 1, column 2: \(\begin{bmatrix} -3 & 5 \end{bmatrix}\)
• Determinant:
• \(-3\)
• কোফ্যাক্ট:
• \(-1 \times (-3) = 3\)
3. For element (2,1):
• Minor:
• Exclude row 2, column 1: \(\begin{bmatrix} -2 & 5 \end{bmatrix}\)
• Determinant:
• \(-2\)
• কোফ্যাক্ট:
• \(-1 \times (-2) = 2\)
4. For element (2,2):
• Minor:
• Exclude row 2, column 2: \(\begin{bmatrix} 1 & -2 \end{bmatrix}\)
• Determinant:
• 1
• কোফ্যাক্ট:
• \(+1 \times 1 = 1\)

অতএব, কোফ্যাক্ট ম্যাট্রিক্স:

\[ C = \begin{bmatrix} -3 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \]

অ্যাজাগেট (adjugate):

\[ \text{adj}(M) = C^{T} = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \]

অতএব, ইনভার্স:

\[ M^{-1} = \frac{1}{-1} \times \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = -1 \times \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -3 & -1 \end{bmatrix} \]

অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো:

\[ \boxed{ M^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -3 & -1 \end{bmatrix} } \]

তবে প্রশ্নের উত্তরটি যে দেওয়া হয়েছে, সেটি ভিন্ন।