\( 2+5+8+11+ \dots \) সমান্তর ধারার 100 তম পদ থেকে 150 তম পদ পর্যন্ত সকল জোড় পদের যোগফল সকল বিজোড় পদের যোগফল থেকে কত বেশি?

🤔 দেওয়া আছে, সমান্তর ধারাটি হলো: \( 2+5+8+11+ \dots \) এই ধারার প্রথম পদ, \( a = 2 \) এবং সাধারণ অন্তর, \( d = 5 - 2 = 3 \). আমরা জানি, সমান্তর ধারার \( n \) তম পদ, \( T_n = a + (n-1)d \). সুতরাং, 100 তম পদ, \( T_{100} = 2 + (100-1) \times 3 = 2 + 99 \times 3 = 2 + 297 = 299 \). এবং 150 তম পদ, \( T_{150} = 2 + (150-1) \times 3 = 2 + 149 \times 3 = 2 + 447 = 449 \). এখন, 100 তম পদ থেকে 150 তম পদের মধ্যে মোট পদ সংখ্যা \( = 150 - 100 + 1 = 51 \). এই 51টি পদের মধ্যে জোড় পদের সংখ্যা \( = \lceil \frac{51}{2} \rceil = 26 \) টি। 🥳 এবং বিজোড় পদের সংখ্যা \( = \lfloor \frac{51}{2} \rfloor = 25 \) টি। 🤩 জোড় পদগুলোর সমষ্টি \( S_{ জোড়} \) এবং বিজোড় পদগুলোর সমষ্টি \( S_{বিজোড়} \) বের করতে হবে। আমরা জানি, \( n \) সংখ্যক পদের সমষ্টি, \( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \). কিন্তু এখানে পদগুলো নির্দিষ্ট। জোড় পদগুলো হল: 100তম, 102তম, ..., 150তম পদ। এদের সাধারণ অন্তর \( 2d = 6 \). বিজোড় পদগুলো হল: 101তম, 103তম, ..., 149তম পদ। এদের সাধারণ অন্তর \( 2d = 6 \). 100তম পদ \( = 299 \). 101তম পদ \( = 299 + 3 = 302 \). 150তম পদ \( = 449 \). 149তম পদ \( = 449 - 3 = 446 \). জোড় পদগুলোর সমষ্টি, \( S_{ জোড়} = \frac{26}{2} [299 + 449] = 13 [748] = 9724 \). 😎 বিজোড় পদগুলোর সমষ্টি, \( S_{বিজোড়} = \frac{25}{2} [302 + 446] = \frac{25}{2} [748] = 25 \times 374 = 9350 \). 🤓 অতএব, পার্থক্য \( = S_{ জোড়} - S_{বিজোড়} = 9724 - 9350 = 374 \). সুতরাং, 100 তম পদ থেকে 150 তম পদ পর্যন্ত সকল জোড় পদের যোগফল সকল বিজোড় পদের যোগফল থেকে 374 বেশি।