Another Explanation (5):
প্রশ্নের সমাধান:
প্রদত্ত ফাংশন:
y = \sin(n\pi + \frac{\pi}{6})
আমরা প্রথমে এই সমীকরণকে সহজভাবে বিশ্লেষণ করব।
- এটি পর্যায়বৃত্ত ফাংশন কি না?
অতএব, আমরা জানি যে,
\[
\sin(\theta + 2k\pi) = \sin \theta
\]
এবং
\[
\sin(n\pi + \frac{\pi}{6}) = \sin\left(\frac{\pi}{6} + n\pi\right)
\]
নোট করুন যে, \(\sin(\alpha + n\pi) = (-1)^n \sin \alpha\)। এটি একটি মৌলিক সাইন ফাংশনের পরিচিত গুণিতকীয় গুণাবলি।
অতএব,
\[
y = \sin(n\pi + \frac{\pi}{6}) = (-1)^n \sin \frac{\pi}{6}
\]
এবং, \(\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\),
অতএব,
\[
y = (-1)^n \times \frac{1}{2}
\]
এখন, চলুন এই সমীকরণের ভিত্তিতে পর্যায়বৃত্ততা যাচাই করি:
- যখন \(n\) পরিবর্তিত হয়, \( (-1)^n \) এর মান পরিবর্তিত হয়:
- যদি \(n\) জোড় হয়, তাহলে \( (-1)^n = 1 \),
- যদি \(n\) বিজোড় হয়, তাহলে \( (-1)^n = -1 \).
অতএব,
\[
\boxed{
y = \begin{cases}
\frac{1}{2}, & \text{যখন } n \text{ জোড়} \\
-\frac{1}{2}, & \text{যখন } n \text{ বিজোড়}
\end{cases}
}
\]
এখানে, লক্ষ্য করুন যে, এই ফাংশনটি \(n\) এর সাথে পর্যায়বৃত্ত। কারণ, \( (-1)^n \) এর মান দুটি মাত্র, এবং \(n\) এর মান পরিবর্তিত হলে মানও পরিবর্তিত হয়।
সুতরাং, এই ফাংশনটি পর্যায়বৃত্ত, কারণ এটি \(n\) এর উপর নির্ভর করে।
=> **উত্তর (i) সঠিক।**
- n জোড় হলে এর মান 1/2 কি না?
উপরের বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায়,
- যখন \(n\) জোড়, তখন \(y = \frac{1}{2}\)।
অতএব, **উত্তর (ii) সঠিক।**
- n বিজোড় হলে এর মান -1/2 কি না?
পুনরায় দেখা যায়,
- যখন \(n\) বিজোড়, তখন \( y = -\frac{1}{2} \).
অতএব, **উত্তর (iii) সঠিক।**
---
### চূড়ান্ত উত্তর:
সুতরাং, উপরের তিনটি ধারা সবই সঠিক।
অতএব, সঠিক উত্তর:
i, ii ও iii
