তিনটি ভেক্টর \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \), যাদের মান যথাক্রমে 4, 3 এবং 5 যােগ করলে শূন্য হয় অর্থাৎ \( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0 \)। তাহলে \( |\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b})| \) এর মান হলাে-

Explanation: প্রশ্ন বিশ্লেষণ: তিনটি ভেক্টর \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \), যাদের মান যথাক্রমে 4, 3 এবং 5, যোগ করলে শূন্য হয় অর্থাৎ \( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0 \)। \( |\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b})| \) এর মান বের করতে বলা হয়েছে। অপশন বিশ্লেষণ: A. 12: ভুল, এটি সঠিক নয়। B. 60: সঠিক, এই সমীকরণটির মাধ্যমে সঠিক উত্তর পাওয়া যায়। C. 25: ভুল, এটি সঠিক নয়। D. 15: ভুল, এটি সঠিক নয়। নোট: ভেক্টর গুণন এবং ক্রস প্রোডাক্টের সমীকরণ ব্যবহার করে সঠিক ফলাফল পাওয়া যায়।

Another Explanation (5): ```html

🤔 প্রশ্নানুসারে, \( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0 \)।

সুতরাং, \( \vec{c} = -(\vec{a} + \vec{b}) \) ।

এখন, \( |\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b})| \) এর মান বের করতে হবে। 🧐

আমরা জানি, \( \vec{a} \times \vec{b} \) একটি ভেক্টর যা \( \vec{a} \) এবং \( \vec{b} \) উভয়ের উপর লম্ব। 🤓

\( \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = -(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{b}) \)

\(= -\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) - \vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{b}) \) 😊

ভেক্টর ত্রৈধ গুণন সূত্র ব্যবহার করে,

\( \vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b} \)

\( \vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{b} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{b} \)

সুতরাং, \( \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = - [(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b}] - [(\vec{b} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{b}] \)

\(= -(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} + |\vec{a}|^2 \vec{b} - |\vec{b}|^2 \vec{a} + (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{b} \)

\(= (|\vec{a}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b}))\vec{b} - (|\vec{b}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b}))\vec{a} \) 😮

যেহেতু \( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0 \), তাই তারা একটি ত্রিভুজ গঠন করে। ত্রিভুজের বাহুগুলোর মান 4, 3 এবং 5. যেহেতু \( 4^2 + 3^2 = 5^2 \), তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ। 🤩

সুতরাং, \( \vec{a} \) এবং \( \vec{b} \) এর মধ্যবর্তী কোণ \( 90^\circ \)।

অতএব, \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{90^\circ} = 0 \) ।

তাহলে, \( \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = |\vec{a}|^2 \vec{b} - |\vec{b}|^2 \vec{a} = 4^2 \vec{b} - 3^2 \vec{a} = 16\vec{b} - 9\vec{a} \) 🥳

এখন, \( |\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b})| = |16\vec{b} - 9\vec{a}| \)

যেহেতু \( \vec{a} \) এবং \( \vec{b} \) লম্ব, তাই

\( |16\vec{b} - 9\vec{a}|^2 = (16|\vec{b}|)^2 + (9|\vec{a}|)^2 = (16 \times 3)^2 + (9 \times 4)^2 = 48^2 + 36^2 = 2304 + 1296 = 3600 \) ।

সুতরাং, \( |\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b})| = \sqrt{3600} = 60 \) ।

অতএব, \( |\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b})| \) এর মান 60. ✅

```