inta^xdx=a^x/lna যখন-

প্রশ্ন: \(\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}\) যখন -

উত্তর: \(a > 0, a \neq 1\)

ব্যাখ্যা:

আমরা জানি, \(\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a\)
সুতরাং, \(\int a^x \ln a\ dx = a^x + C\)
উভয় পক্ষে \(\ln a\) দিয়ে ভাগ করলে পাই,
\(\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C'\) , যেখানে \(C' = \frac{C}{\ln a}\) একটি নতুন ধ্রুবক।

এখন, এই ইন্টিগ্???ালটি তখনই সংজ্ঞায়িত হবে, যখন \(a\) এর মান \(0\) এর থেকে বড় হয় এবং \(1\) এর সমান না হয়। কারণ:

• যদি \(a \le 0\) হয়, তবে \(a^x\) জটিল সংখ্যা হতে পারে, যা বাস্তব সংখ্যার ইন্টিগ্রেশন এর সংজ্ঞার বাইরে।
• যদি \(a = 1\) হয়, তবে \(\ln a = \ln 1 = 0\) হবে। ফলে \(\frac{a^x}{\ln a}\) অসংজ্ঞায়িত হবে। 🤯

অতএব, \(\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}\) হওয়ার শর্ত হলো \(a > 0\) এবং \(a \neq 1\) হওয়া। 🎉