যে সরলরেখা (3,6) বিন্দু দিয়ে যায় এবং মূলবিন্দু থেকে যার দূরত্ব একক, তার সমীকরণ কী হবে?

প্রশ্ন:

যে সরলরেখা (3,6) বিন্দু দিয়ে যায় এবং মূলবিন্দু থেকে যার দূরত্ব 3 একক, তার সমীকরণ কী হবে?

উত্তর:

ধরি, সরলরেখার সমীকরণ:

\(ax + by + c = 0 \)......(1)

যেহেতু রেখাটি (3,6) বিন্দুগামী, তাই:

\(3a + 6b + c = 0\)......(2)

আবার, মূলবিন্দু থেকে সরলরেখার লম্ব দূরত্ব 3 একক। সুতরাং,

\(\frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 3\)

\(\Rightarrow c^2 = 9(a^2 + b^2)\)......(3)

সমীকরণ (2) থেকে, \(c = -3a - 6b\). এই মান (3) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

\((-3a - 6b)^2 = 9(a^2 + b^2)\)

\(\Rightarrow 9a^2 + 36ab + 36b^2 = 9a^2 + 9b^2\)

\(\Rightarrow 27b^2 + 36ab = 0\)

\(\Rightarrow 9b(3b + 4a) = 0\)

সুতরাং, \(b = 0\) অথবা \(3b + 4a = 0\).

case 1: যখন \(b = 0\),

সমীকরণ (2) থেকে পাই, \(c = -3a\)।

তাহলে (1) নং সমীকরণটি হবে,

\(ax - 3a = 0\)

\(\Rightarrow x - 3 = 0\). 🥳

case 2: যখন \(3b + 4a = 0\),

\(\Rightarrow b = -\frac{4a}{3}\).

সমীকরণ (2) থেকে পাই,

\(c = -3a - 6(-\frac{4a}{3}) = -3a + 8a = 5a\).

তাহলে (1) নং সমীকরণটি হবে,

\(ax - \frac{4a}{3}y + 5a = 0\)

\(\Rightarrow 3x - 4y + 15 = 0\). 🤩

অতএব, নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(x - 3 = 0\) অথবা \(3x - 4y + 15 = 0\). 🎉