Another Explanation (5): সমাধান:
প্রথমে, আমাদের দৃষ্টিতে নেওয়া যাক, ম্যাট্রিক্সটি হলো:
| \(A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}\) |
এখন, প্রশ্নে বলা হয়েছে, এই ম্যাট্রিক্সটি কোন ধরনের ম্যাট্রিক্স:
- কর্ণ ম্যাট্রিক্স
- স্কেলার ম্যাট্রিক্স
- অভেদক ম্যাট্রিক্স
ধাপ 1: কর্ণ ম্যাট্রিক্স নির্ণয়
কর্ণ বা কোর (Kernel) হল সেই সকল ভেক্টর \( \vec{v} \) যা ম্যাট্রিক্সের সাথে গুণ করলে ফলাফল শূন্য ভেক্টর হয়:
\[
A \vec{v} = \vec{0}
\]
সুতরাং, আমাদের সমাধান করতে হবে:
\[
\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\]
গুণ করলে পাই:
\[
\begin{cases}
2v_1 = 0 \Rightarrow v_1 = 0 \\
2v_2 = 0 \Rightarrow v_2 = 0 \\
2v_3 = 0 \Rightarrow v_3 = 0 \\
\end{cases}
\]
অর্থাৎ, কোর বা কর্ণ হলো শুধুমাত্র শূন্য ভেক্টর:
\[
\text{Kern}(A) = \{\vec{0}\}
\]
অর্থাৎ, কর্ণ ম্যাট্রিক্সটি শূন্য ভেক্টর ছাড়া অন্য কোন ভেক্টর রাখে না, অর্থাৎ, কর্ণ শুধুমাত্র শূন্য ভেক্টর। এটি একটি ট্রাঙ্ক বা শূন্য ভেক্টর স্পেস। তাই, এই ম্যাট্রিক্সটি **নিশ্চয়ই** কর্ণ ম্যাট্রিক্স।
ধাপ 2: স্কেলার বা স্কেলার ম্যাট্রিক্স নির্ণয়
একটি ম্যাট্রিক্স স্কেলার ম্যাট্রিক্স তখনই হয়, যখন এটি একটি স্কেলার সংখ্যা দিয়ে প্রকাশ করা যায়, অর্থাৎ, এর সব উপাদান একই, বা এটি একটি স্কেলার মানের গুণফল।
এখানে, ম্যাট্রিক্সটি একটি ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স যেখানে ডায়াগোনালে সব উপাদান 2, এবং অন্য সব উপাদান 0। এটি একটি স্কেলার ম্যাট্রিক্স নয়, কারণ এটি শুধুই ডায়াগোনাল উপাদান সম্বলিত একটি ম্যাট্রিক্স।
তবে, যেহেতু ডায়াগোনাল উপাদানগুলো সমান, এটি একটি স্কেলার ম্যাট্রিক্স বা স্কেলার ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স হিসেবে বিবেচিত হতে পারে।
**অর্থাৎ,** এটি একটি স্কেলার ম্যাট্রিক্স (বিশেষ করে, ডায়াগোনাল স্কেলার ম্যাট্রিক্স)।
ধাপ 3: অভেদক বা ইনভার্স ম্যাট্রিক্স নির্ণয়
একটি ম্যাট্রিক্স ইনভার্স বা অভেদক হয়, যদি সেটি একটি ডিটারমিন্যান্ট এর মান শূন্য না হয়।
ডিটারমিন্যান্ট:
\[
|A| = \det(A) = 2 \times 2 \times 2 = 8 \neq 0
\]
অতএব, \(A\) একটি ইনভার্স বা অভেদক ম্যাট্রিক্স।
উপসংহার:
- ম্যাট্রিক্সটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স (কারণ এর কর্ণ শুধুমাত্র শূন্য ভেক্টর)।
- ম্যাট্রিক্সটি স্কেলার বা স্কেলার ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স (কারণ এটি ডায়াগোনাল উপাদান সম্বলিত)।
- ম্যাট্রিক্সটি অভেদক (কারণ ডিটারমিন্যান্ট শূন্য নয়)।
অর্থাৎ, উপরের তিনটি বিবৃতি যথার্থ।
**সুতরাং, উত্তর:**
i & ii
```html
সমাধান:
প্রথমে, ম্যাট্রিক্সটি হলো:
| \(A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}\) |
ধাপ 1: কর্ণ ম্যাট্রিক্স নির্ণয়
কর্ণ বা কোর (Kernel) হল সেই সকল ভেক্টর \( \vec{v} \) যা ম্যাট্রিক্সের সাথে গুণ করলে ফলাফল শূন্য ভেক্টর হয়:
\(A \vec{v} = \vec{0}\)
সমাধান করলে পাই:
\[
\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\]
গুণ করলে পাই:
\[
\begin{cases}
2v_1 = 0 \Rightarrow v_1 = 0 \\
2v_2 = 0 \Rightarrow v_2 = 0 \\
2v_3 = 0 \Rightarrow v_3 = 0 \\
\end{cases}
\]
অর্থাৎ, কোর বা কর্ণ হলো শুধুমাত্র শূন্য ভেক্টর:
\(\text{Kern}(A) = \{\vec{0}\}\)
অর্থাৎ, ম্যাট্রিক্সটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স। এটি একটি ট্রাঙ্ক বা শূন্য ভেক্টর স্পেস, তাই এটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স।
ধাপ 2: স্কেলার বা স্কেলার ম্যাট্রিক্স নির্ণয়
একটি ম্যাট্রিক্স স্কেলার ম্যাট্রিক্স তখনই হয়, যখন এটি একটি স্কেলার সংখ্যা দিয়ে প্রকাশ করা যায়, অর্থাৎ, এর সব উপাদান একই, বা এটি একটি স্কেলার মানের গুণফল।
এখানে, ম্যাট্রিক্সটি একটি ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স যেখানে ডায়াগোনালে সব উপাদান 2, এবং অন্য সব উপাদান 0। এটি একটি স্কেলার ম্যাট্রিক্স নয়, কারণ এটি শুধুই ডায়াগোনাল উপাদান সম্বলিত একটি ম্যাট্রিক্স।
তবে, যেহেতু ডায়াগোনাল উপাদানগুলো সমান, এটি একটি স্কেলার ম্যাট্রিক্স বা স্কেলার ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স হিসেবে বিবেচিত হতে পারে।
অর্থাৎ, এটি একটি স্কেলার ম্যাট্রিক্স (বিশেষ করে, ডায়াগোনাল স্কেলার ম্যাট্রিক্স)।
ধাপ 3: অভেদক বা ইনভার্স ম্যাট্রিক্স নির্ণয়
একটি ম্যাট্রিক্স ইনভার্স বা অভেদক হয়, যদি সেটি একটি ডিটারমিন্যান্ট এর মান শূন্য না হয়।
ডিটারমিন্যান্ট:
\(|A| = \det(A) = 2 \times 2 \times 2 = 8 \neq 0\)
অতএব, \(A\) একটি ইনভার্স বা অভেদক ম্যাট্রিক্স।
উপসংহার:
- ম্যাট্রিক্সটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স (কারণ এর কর্ণ শুধুমাত্র শূন্য ভেক্টর)
- ম্যাট্রিক্সটি স্কেলার বা স্কেলার ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স (কারণ এটি ডায়াগোনাল উপাদান সম্বলিত)
- ম্যাট্রিক্সটি অভেদক (কারণ ডিটারমিন্যান্ট শূন্য নয়)
অর্থাৎ, উপরের তিনটি বিবৃতি যথার্???।
সুতরাং, উত্তর:
i & ii
```
