α এর মান কত হলে alphahati-2hatj+hatk এবং2alphahati-alphahatj-4hatk পরস্পর লম্ব হবে?

🤔 দুটি ভেক্টর লম্ব হওয়ার শর্ত হল তাদের ডট গুণফল শূন্য হওয়া।

ধরি, ভেক্টর দুটি হল:

\(\vec{a} = \alpha \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}\)

এবং \(\vec{b} = 2\alpha \hat{i} - \alpha \hat{j} - 4 \hat{k}\)

যেহেতু ভেক্টর দুটি লম্ব, তাই \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)

ডট গুণফল করি: \((\alpha \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}) \cdot (2\alpha \hat{i} - \alpha \hat{j} - 4 \hat{k}) = 0\)

\(\Rightarrow 2\alpha^2 + 2\alpha - 4 = 0\)

\(\Rightarrow \alpha^2 + \alpha - 2 = 0\)

এখন, আমরা একটি দ্বিঘাত সমীকরণ পেয়েছি। একে সমাধান করি:

\(\Rightarrow \alpha^2 + 2\alpha - \alpha - 2 = 0\)

\(\Rightarrow \alpha (\alpha + 2) - 1 (\alpha + 2) = 0\)

\(\Rightarrow (\alpha - 1) (\alpha + 2) = 0\)

সুতরাং, \(\alpha = 1\) অথবা \(\alpha = -2\)

অতএব, \(\alpha\) এর মান 1 অথবা -2। 🎉