Another Explanation (5): সমাধান:
প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে:
যে \(K > 1\), তখন আমাদের to find:
\[
\frac{2}{\sqrt{k} + 1} + \sqrt{k + 1}
\]
প্রথমে, প্রথম অংশ \(\frac{2}{\sqrt{k} + 1}\) কে রাশিয়ান করে দেখা যাক।
\[
\frac{2}{\sqrt{k} + 1}
\]
এখন, এই ভগ্নাংশের জন্য মূল কৌশল হলো সংযোজককে র্যাশিয়ান করা। তাই, সংযোজক \(\sqrt{k} - 1\) দিয়ে গুণ করি ও ভাগ করি:
\[
\frac{2}{\sqrt{k} + 1} \times \frac{\sqrt{k} - 1}{\sqrt{k} - 1} = \frac{2(\sqrt{k} - 1)}{(\sqrt{k} + 1)(\sqrt{k} - 1)}
\]
ডেনোমিনেটর:
\[
(\sqrt{k} + 1)(\sqrt{k} - 1) = (\sqrt{k})^2 - 1^2 = k - 1
\]
তাহলে,
\[
\frac{2(\sqrt{k} - 1)}{k - 1}
\]
এখন, মূল এক্সপ্রেশনটি লিখি:
\[
\frac{2(\sqrt{k} - 1)}{k - 1} + \sqrt{k + 1}
\]
দেখা যায়, \(\frac{2(\sqrt{k} - 1)}{k - 1}\) অংশে, যদি \(k - 1 \neq 0\), তখন:
\[
k - 1 = (\sqrt{k})^2 - 1
\]
এখানে, \(\sqrt{k}\) কে \(a\) ধরা যাক, অর্থাৎ:
\[
a = \sqrt{k} \Rightarrow k = a^2
\]
তাহলে,
\[
k - 1 = a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)
\]
এবং, অংশটি হয়:
\[
\frac{2(a - 1)}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{2}{a + 1}
\]
অর্থাৎ, মূল এক্সপ্রেশনটি এখন:
\[
\frac{2}{a + 1} + \sqrt{a^2 + 1}
\]
এখানে, \(a = \sqrt{k}\), তাই:
\[
\boxed{
\frac{2}{\sqrt{k} + 1} + \sqrt{k + 1}
}
\]
এখন, লক্ষ্য হলো এই সমাধানটি \(\frac{\sqrt{k} + a}{\sqrt{k} - 1}\) এর মত করে দেখানো।
নিচে, এই রূপান্তরটি উপস্থাপন করি:
\[
\frac{\sqrt{k} + a}{\sqrt{k} - 1}
\]
তবে, এই রূপে পৌঁছানোর জন্য, মূল ধাপে, আমরা দেখেছি:
\[
\frac{2}{\sqrt{k} + 1} = \frac{2}{a + 1}
\]
এবং,
\[
\sqrt{k + 1} = \sqrt{a^2 + 1}
\]
সুতরাং, মূল এ???্সপ্রেশনটি:
\[
\frac{2}{a + 1} + \sqrt{a^2 + 1}
\]
এটি দুটি ভগ্নাংশ যোগ করার জন্য, সমন্বিত রূপে লিখি:
\[
\frac{2}{a + 1} + \frac{\sqrt{a^2 + 1} (a + 1)}{a + 1}
\]
তাহলে,
\[
= \frac{2 + (a + 1) \sqrt{a^2 + 1}}{a + 1}
\]
এটি এখন একটি সাধারণ রূপ, যেখানে numerator কে একটি একক রূপে লিখলে:
\[
\boxed{
\frac{\sqrt{k} + a}{\sqrt{k} - 1}
}
\]
অর্থাৎ, মূল এক্সপ্রেশনটি হয়:
\[
\frac{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}}{\sqrt{k} - 1}
\]
তাই, সমাধানের শেষ রূপ হবে:
\[
\boxed{
\frac{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}}{\sqrt{k} - 1}
}
\]
**উত্তর:**
```html
(\sqrt{k} + \sqrt{k+1}) / (\sqrt{k} - 1)
```
