Explanation: 
Another Explanation (5):
সমাধান:
ধরি, \(I = \int e^x \sin x \, dx\)
এখন, ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস ব্যবহার করে,
\(I = \sin x \int e^x \, dx - \int \left( \frac{d}{dx} (\sin x) \int e^x \, dx \right) dx\)
\(I = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx\) 🤔
আবার ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস ব্যবহার করে,
\(I = e^x \sin x - \left[ \cos x \int e^x \, dx - \int \left( \frac{d}{dx} (\cos x) \int e^x \, dx \right) dx \right]\)
\(I = e^x \sin x - e^x \cos x + \int e^x (-\sin x) \, dx\)
\(I = e^x \sin x - e^x \cos x - \int e^x \sin x \, dx\)
\(I = e^x \sin x - e^x \cos x - I\) 😮
এখন, \(I\) কে বাম পাশে নিয়ে এসে পাই,
\(2I = e^x \sin x - e^x \cos x\)
\(I = \frac{e^x}{2} (\sin x - \cos x)\)
সুতরাং, \(\int e^x \sin x \, dx = \frac{e^x}{2} (\sin x - \cos x) + c\) , যেখানে \(c\) হলো ইন্টিগ্রেশন ধ্রুবক। 🎉
অতএব, উত্তর: \(\frac{e^x}{2} (\sin x - \cos x) + c\) ✅
