Another Explanation (5): প্রশ্নের তথ্য অনুযায়ী, একটি বস্তু \(u\) আদিবেগে আনুভূমিকের সাথে \(\alpha\) কোণে প্রক্ষিপ্ত হলে, তার বিভিন্ন প্রভাবের জন্য মান নির্ণয় করতে হবে।
প্রথমে, প্রক্ষেপণের উপাদান বিশ্লেষণ করবো:
- প্রক্ষিপ্ত গতির আনুভূমিক উপাদান: \(u_x = u \cos \alpha\)
- প্রক্ষিপ্ত গতির উল্লম্ব উপাদান: \(u_y = u \sin \alpha\)
গতি ও বিচরণকাল, পাল্লা ইত্যাদি নির্ণয়ে নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করবো।
---
### 1. বিচরণকাল \(T\):
বস্তুটি উল্লম্বভাবে প্রক্ষিপ্ত হলে, তার গতি উল্লম্ব দিকের উপাদান \(u_y\) দ্বারা নির্ধারিত।
উল্লম্ব গতি: \(u_y = u \sin \alpha\)
বিচরণকাল \(T\) হলো, যখন বস্তুটি প্রথমে উচ্চতায় উঠে, তারপরে নিচে ফিরে আসে।
বিচরণকাল:
\[
T = \frac{2 u_y}{g} = \frac{2 u \sin \alpha}{g}
\]
অর্থাৎ,
**বিচরণকাল: \(\frac{2 u \sin \alpha}{g}\)**
---
### 2. বৃহত্তম পাল্লা \(R_{max}\):
বস্তুটি সর্বোচ্চ দূরত্বে পৌঁছানোর জন্য, ট্রাজেক্টরির আদি বিন্দু ও সর্বোচ্চ দূরত্ব (রেডিয়াস) নির্ণয় করতে হবে।
প্রক্ষেপণের সর্বোচ্চ দূরত্ব (আউটপুটের জন্য):
\[
R = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g}
\]
অথবা, পাল্লার সর্বোচ্চ মান:
\[
R_{max} = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g}
\]
এখানে, সর্বোচ্চ পাল্লা নির্ণয় করতে চাইলে, \(\sin 2\alpha\) এর মান নির্ধারিত। তবে, প্রশ্নের অপশনে উল্লেখ আছে: \(u^2 / g\)।
বিশ্লেষণে, সর্বোচ্চ পাল্লা:
\[
R_{max} = \frac{u^2}{g}
\]
যদিও, সাধারণত, সর্বোচ্চ পাল্লা \(\frac{u^2 \sin 2\alpha}{g}\), কিন্তু অপশনে দেওয়া মানটি এই বিষয়টি নির্দেশ করে যে, পাল্লার সর্বোচ্চ মান \(\frac{u^2}{g}\) হতে পারে যদি \(\sin 2\alpha = 1\), অর্থাৎ \(\alpha = 45^\circ\)।
তাই, অপশনের মান সঠিক হতে পারে।
---
### 3. সর্বাধিক পাল্লা \(R_{max}\):
সাধারণ সূত্র অনুযায়ী, সর্বোচ্চ পাল্লা:
\[
R = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g}
\]
আর, \(\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha\), তাই:
\[
R_{max} = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g}
\]
এটি সাধারণত ব্যবহৃত হয়।
---
### উপসংহার:
- বিচরণকাল: \(\frac{2 u \sin \alpha}{g}\) — অপশন (i) ঠিক।
- বৃহত্তম পাল্লা: \(\frac{u^2}{g}\) — অপশন (ii) ঠিক, যদি \(\sin 2\alpha = 1\) হয়।
- সর্বাধিক পাল্লা: \(\frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g}\) — অপশন (iii) ঠিক।
সুতরাং, উপরের তিনটি অপশনই সঠিক।
---
### চূড়ান্ত উত্তর:
**i, ii ও iii**
