\( \tan\theta + \sec\theta =x \) হলে, \( \csc\theta \)- এর মান কত?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: যদি \( \tan\theta + \sec\theta = x \) হয়, তবে \( \csc\theta \)-এর মান কত?

সমাধান:

আমরা প্রথমে লক্ষ্য করবো যে, \( \tan\theta + \sec\theta \) এর মান দিয়ে \( \csc\theta \) এর মান নির্ণয় করতে পারি।

প্রথমে, \( \tan\theta + \sec\theta \) এর স্কোয়ার নিই:

\( (\tan\theta + \sec\theta)^2 = x^2 \)

এখন, বর্গের বিস্তৃতি অনুযায়ী,

\( \tan^2\theta + 2 \tan\theta \sec\theta + \sec^2\theta = x^2 \)

আমরা জানি,

\( \sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta \)

অতএব, উপরের সমীকরণে, আমরা \( \sec^2\theta \) এর স্থানান্তর করব:

\( \tan^2\theta + 2 \tan\theta \sec\theta + 1 + \tan^2\theta = x^2 \)

এটি সরল করলে,

\( 2 \tan^2\theta + 2 \tan\theta \sec\theta + 1 = x^2 \)

এখন, \( \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \) এবং \( \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} \) হওয়ায়,

\( \tan\theta \sec\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \times \frac{1}{\cos\theta} = \frac{\sin\theta}{\cos^2\theta} \)

অথবা, আমরা সরাসরি \( \tan\theta \) ও \( \sec\theta \) এর সম্পর্কের মাধ্যমে কাজ করব। তবে, আরও সরাসরি উপায় হল, \( \tan\theta + \sec\theta = x \) থেকে \( \tan\theta \) ও \( \sec\theta \) এর সম্পর্ক ব্যবহার করা। আমরা জানি,

\( \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} \)

এবং, \( \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \), তাই,

\( \tan\theta + \sec\theta = \frac{\sin\theta + 1}{\cos\theta} = x \)

অর্থাৎ,

\( \sin\theta + 1 = x \cos\theta \)

এবং,

\( \sin\theta = x \cos\theta - 1 \)

এখন, \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \), তাই,

\( (x \cos\theta - 1)^2 + \cos^2\theta = 1 \)

বিস্তৃতি করে,

\( x^2 \cos^2\theta - 2x \cos\theta + 1 + \cos^2\theta = 1 \)

সরাসরি, দুই পাশে 1 বাদ দিলে,

\( x^2 \cos^2\theta - 2x \cos\theta + \cos^2\theta = 0 \)

এখন, সমীকরণটি \( \cos\theta \)-এর জন্য রূপান্তর করি:

\( (x^2 + 1) \cos^2\theta - 2x \cos\theta = 0 \)

এটি আবার,

\( \cos\theta \left( (x^2 + 1) \cos\theta - 2x \right) = 0 \)

অর্থাৎ,

\( \cos\theta = 0 \) বা \( (x^2 + 1) \cos\theta = 2x \)

প্রথমটি অপ্রাসঙ্গিক কারণ তখন \( \sec\theta \) অসীম হবে। সুতরাং,

\( \cos\theta = \frac{2x}{x^2 + 1} \)

এখন, \( \sin\theta \) নির্ণয় করি:

\( \sin\theta = x \cos\theta - 1 = x \times \frac{2x}{x^2 + 1} - 1 = \frac{2x^2}{x^2 + 1} - 1 \)

সাধারিত,

\( \sin\theta = \frac{2x^2 - (x^2 + 1)}{x^2 + 1} = \frac{2x^2 - x^2 - 1}{x^2 + 1} = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \)

এখন, \( \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} \), তাই,

\( \csc\theta = \frac{1}{\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}} = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \)

অতএব, উত্তর হলো:

\( \boxed{\csc\theta = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}} \)