Explanation: প্রশ্ন বিশ্লেষণ: \( x^2 + 4xy + 4y^2 + 2x + 4y + 1 = 0 \) কীসের সমীকরণ, জানতে চাওয়া হয়েছে। অপশন বিশ্লেষণ: A. যুগল সরলরেখা: সঠিক, এটি সঠিক উত্তর। B. বৃত্ত: ভুল, এটি সঠিক নয়। C. উপবৃত্ত: ভুল, এটি সঠিক নয়। D. পরাবৃত্ত: ভুল, এটি সঠিক নয়। E. অধিবৃত্ত: ভুল, এটি সঠিক নয়। নোট: সমীকরণের গঠন এবং প্রতিস্থাপন সূত্র ব্যবহার করে সঠিক উত্তর বের করা হয়।
Another Explanation (5):
x² + 4xy + 4y² + 2x + 4y + 1 = 0 একটি যুগল সরলরেখার সমীকরণ 🤔। নিচে এর ব্যাখ্যা দেওয়া হলো:
আমরা প্রদত্ত সমীকরণটিকে এভাবে লিখতে পারি:
(x² + 4xy + 4y²) + 2(x + 2y) + 1 = 0
⇒ (x + 2y)² + 2(x + 2y) + 1 = 0
ধরি, x + 2y = z
তাহলে সমীকরণটি হবে:
z² + 2z + 1 = 0
⇒ (z + 1)² = 0
⇒ z + 1 = 0
⇒ z = -1
z এর মান বসিয়ে পাই,
x + 2y = -1
⇒ x + 2y + 1 = 0
যেহেতু আমরা একটি সরলরেখার সমীকরণ পেয়েছি, কিন্তু প্রথমে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ ছিল, তাই এটি দুটি অভিন্ন সরলরেখা নির্দেশ করে। সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণটি একটি যুগল সরলরেখা (pair of straight lines) প্রকাশ করে, যেখানে সরলরেখা দুটি একই। 🥳
অন্যভাবে,
আমরা জানি, ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0 একটি যুগল সরলরেখা হবে যদি,
det = \( \begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix} \) = 0 হয়।
এখানে, a = 1, h = 2, b = 4, g = 1, f = 2, c = 1
তাহলে, det = \( \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} \)
= 1(4 - 4) - 2(2 - 2) + 1(4 - 4)
= 0 - 0 + 0
= 0
যেহেতু det = 0, তাই প্রদত্ত সমীকরণটি একটি যুগল সরলরেখা উপস্থাপন করে। 🎉
এবং এক্ষেত্রে সরলরেখা দুটি হলো: x + 2y + 1 = 0 এবং x + 2y + 1 = 0 , যা একই সরলরেখা। 💯
