cos 2A =

1. -2sin²A + 1
2. 2cos²A - 1
3.  (1-tan^2A)/sec^2A

নিচের কোনটি সঠিক?

প্রশ্নের উত্তর: "i, ii ও iii"

প্রথমে, আমরা \( \cos 2A \) এর মান নির্ণয় করব এবং দেখব কোনটি সঠিক।

প্রথমে, সাধারণ পরিচিত ত্রিকোণমিতি সূত্র অনুসারে:

• \(\cos 2A = 2\cos^2 A - 1\)
• \(\cos 2A = 1 - 2\sin^2 A\)

প্রথম বিকল্প:

\(\text{i. } -2 \sin^2 A + 1\)

এটি \( 1 - 2 \sin^2 A \) এর সমান। অর্থাৎ,

\[ \cos 2A = 1 - 2 \sin^2 A \]

অথবা,

\[ \cos 2A = -2 \sin^2 A + 1 \]

সুতরাং, অপশন i সঠিক।

দ্বিতীয় বিকল্প:

\(\text{ii. } 2 \cos^2 A - 1\)

এটি সরাসরি পরিচিত সূত্র, যা বলে যে:

\[ \cos 2A = 2 \cos^2 A - 1 \]

অর্থাৎ, অপশন ii সঠিক।

তৃতীয় বিকল্প:

\(\text{iii. } \frac{1 - \tan^2 A}{\sec^2 A}\)

আমরা জানি যে:

• \(\tan^2 A = \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A}\)
• \(\sec^2 A = 1 + \tan^2 A\)

অতএব,

\[ \frac{1 - \tan^2 A}{\sec^2 A} = \frac{1 - \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A}}{1 + \tan^2 A} \] = \[ \frac{\frac{\cos^2 A - \sin^2 A}{\cos^2 A}}{1 + \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A}} = \frac{\cos^2 A - \sin^2 A}{\cos^2 A + \sin^2 A} \] এবং জানি যে, \(\cos^2 A + \sin^2 A = 1\), তাই: \[ \frac{\cos^2 A - \sin^2 A}{1} = \cos^2 A - \sin^2 A \] এখন, আমরা জানি যে: \[ \cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A \] অর্থাৎ, \[ \frac{1 - \tan^2 A}{\sec^2 A} = \cos 2A \] অতএব, অপশন iiiও সঠিক।

সারসংক্ষেপ:

তাই, সব তিনটি অপশনই সঠিক।

উত্তর: i, ii ও iii