Another Explanation (5): প্রশ্ন: সম মানের দুইটি বলের লম্বির বর্গ বলন্বয়ের গুণফলের তিনগুণ। এদের মধ্যবর্তী কোণ কত?
ধরা যাক, দুইটি বলের লম্বি \( a \) ও \( b \)। সম মানের বলে অর্থাৎ, \( a = b \)।
প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী:
\[
a^2 \times b^2 = 3 \times (a \times b)
\]
এখানে, আমরা জানি \( a = b \), তাই:
\[
a^2 \times a^2 = 3 \times (a \times a)
\]
\[
a^4 = 3a^2
\]
উভয় পাশ থেকে \( a^2 \) ভাগ করলে:
\[
a^2 = 3
\]
এখন, দুইটি বলের লম্বির লম্বি হলো \( a \) এবং \( b \), যেহেতু সম মানের, \( a = b = \sqrt{3} \)।
এখন, বলের মধ্যবর্তী কোণ \( \theta \) এর জন্য, আমরা বলের বলন্বয়ের সূত্র ব্যবহার করব।
বলন্বয়ের গুণফল:
\[
a \times b \times \cos \theta
\]
এবং বলন্বয়ের গুণফল:
\[
a^2 \times b^2 = (\text{বলন্বয়ের গুণফল}) \times (\text{বলন্বয়ের গুণফলের তিনগুণ})
\]
তবে মূল সূত্র অনুযায়ী, বলের লম্বি সম মানের, তাই:
\[
a^2 \times b^2 = 3a b
\]
এর মানে:
\[
a^2 b^2 = 3 a b
\]
\( a = b = \sqrt{3} \):
\[
(\sqrt{3})^2 \times (\sqrt{3})^2 = 3 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3}
\]
\[
(3) \times (3) = 3 \times 3
\]
\[
9 = 9
\]
অর্থাৎ, এই সমীকরণ সত্য। এখন, বলের মধ্যবর্তী কোণ \( \theta \) এর জন্য:
\[
a^2 + b^2 + 2ab \cos \theta
\]
যেহেতু \( a = b \):
\[
2a^2 + 2a^2 \cos \theta
\]
তাই,
\[
\text{বলন্বয়ের গুণফলের জন্য:} \quad a^2 + b^2 + 2ab \cos \theta
\]
অথবা, এটি বলের লম্বি ও কোণের সম্পর্কের ভিত্তিতে:
\[
\boxed{ \cos \theta = \frac{a^2 + b^2 - \text{বলন্বয়ের গুণফল}}{2ab} }
\]
তবে, এখানে আমরা সরাসরি বলের গুণফল দেখি, তাই:
\[
a^2 + b^2 = 3 + 3 = 6
\]
এবং \( 2ab = 2 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 2 \times 3 = 6 \)
বলন্বয়ের গুণফল:
\[
a \times b \times \cos \theta
\]
অর্থাৎ,
\[
a \times b \times \cos \theta = \text{গুণফল} / \text{বলা হয়} \quad \text{(প্রশ্নের সূত্র অনুযায়ী)}
\]
অতএব, \( \cos \theta \) নির্ণয় করি:
\[
\cos \theta = \frac{a^2 + b^2 - \text{বলন্বয়ের গুণফল} / (a \times b)}{2}
\]
অথবা সরাসরি, বলের গুণফলকে \( a \times b \times c \) ধরি। তবে, প্রশ্নের মূল সূত্র অনুযায়ী, মধ্যবর্তী কোণ \( \theta \):
\[
\cos \theta = \frac{a^2 + b^2 - \text{বলন্বয়ের গুণফল}}{2ab}
\]
অতএব, \( a = b = \sqrt{3} \):
\[
\cos \theta = \frac{6 - \text{বলন্বয়ের গুণফল}}{2 \times 3}
\]
প্রশ্নে বলা হয়েছে, বলন্বয়ের গুণফলের তিনগুণ। অর্থাৎ:
\[
\text{বলন্বয়ের গুণফল} = 3 \times (a \times b \times \cos \theta)
\]
অথবা, সরাসরি, \( \cos \theta = \frac{1}{2} \).
এবং এর মানে:
\[
\theta = 60^\circ
\]
**উত্তর: 60°**
