ⁿC_r এর সম্পূরক সমাবেশ কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\binom{n}{r}\) এর সম্পূরক সমাবেশ কোনটি? উত্তর: \(\binom{n}{n - r}\) সমাধান: একটি সমাবেশ \(A\)-এর সম্পূরক সমাবেশ হলো সেটি যা মূল সমাবেশের সাথে পারস্পরিক স্বতন্ত্র এবং তাদের যোগফল মূল সমাবেশের সমান। ধরুন, একটি সমাবেশ \(S\) এবং এর একটি উপসমাবেশ \(A \subseteq S\)। \(\binom{n}{r}\) বলতে বোঝায়, \(n\) উপাদানের সমাবেশ থেকে \(r\) উপাদানের নির্বাচন। অন্যদিকে, সমাবেশের সম্পূরক সমাবেশ হলো সেই সমস্ত উপাদান বা উপাদানসমূহ যেগুলি মূল সমাবেশের অংশ নয়, অর্থাৎ, মূল সমাবেশ থেকে বাদ দেওয়া উপাদানগুলো। ধরা যাক, মূল সমাবেশ \(S\) এর উপাদান সংখ্যা \(n\)। তাহলে, যদি একটি উপসমাবেশ \(A\) এর উপাদান সংখ্যা হয় \(r\), তবে এর সম্পূরক সমাবেশ \(A^c\) এর উপাদান সংখ্যা হবে \(n - r\)। অর্থাৎ, \[ |A| = r \implies |A^c| = n - r \] অতএব, \[ \binom{n}{r} = \text{number of subsets of size } r \] এখন, এই সংখ্যা মূল সমাবেশ থেকে \(r\) উপাদান নির্বাচন করার জন্য। পরিবর্তে, এই উপসমাবেশের সম্পূরকটির জন্য নির্বাচন করা হবে \(n - r\) উপাদান, অর্থাৎ, \[ \binom{n}{n - r} \] এখানে, \(\binom{n}{r} = \binom{n}{n - r}\) সেটির সমান। অতএব, \[ \boxed{ \text{সংখ্যা of subsets of size } r \text{ এর সম্পূরক সমাবেশের সংখ্যা } = \binom{n}{n - r} } \]