\( 2nP3 = 2 \times nP4 \) হলে n এর মান কত?

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ অনুযায়ী,

\[ 2nP3 = 2 \times nP4 \]

ধাপে ধাপে সমাধান:

প্রথমে, পারমুটেশন সূত্র অনুযায়ী,

\[ nPr = \frac{n!}{(n - r)!} \]

অতএব,

\[ 2nP3 = 2 \times nP4 \]

অর্থাৎ,

\[ 2 \times \frac{(2n)!}{(2n - 3)!} = 2 \times \frac{n!}{(n - 4)!} \]

শর্ত অনুযায়ী,

\[ 2 \times \frac{(2n)!}{(2n - 3)!} = 2 \times \frac{n!}{(n - 4)!} \]

উভয় পাশে 2 কেটে দিলে,

\[ \frac{(2n)!}{(2n - 3)!} = \frac{n!}{(n - 4)!} \]

বামে,

\[ \frac{(2n)!}{(2n - 3)!} = (2n) \times (2n - 1) \times (2n - 2) \]

\[ (2n) \times (2n - 1) \times (2n - 2) = \frac{n!}{(n - 4)!} \]

\[ n \times (n - 1) \times (n - 2) \times (n - 3) \]

\[ (2n) \times (2n - 1) \times (2n - 2) = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times (n - 3) \]

এখন, উভয় পাশে সাধারণ অংকগুলো ভাগ করি:

\[ 2 \times (2n) \times (2n - 1) \times (2n - 2) = (n - 1) \times (n - 2) \times (n - 3) \]

মূল সমীকরণ অনুসারে,

\[ 2 \times (2n) \times (2n - 1) \times (2n - 2) = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times (n - 3) \]

এখন, \( n \) এর জন্য মান খুঁজতে, বিভিন্ন মান পরীক্ষা করি।

চলুন \( n = 8 \) মানটি পরীক্ষা করি:

বামে: \( 2 \times (2 \times 8) \times (2 \times 8 - 1) \times (2 \times 8 - 2) \)

\[ 2 \times 16 \times 15 \times 14 = 2 \times 16 \times 15 \times 14 \]

\[ 2 \times 16 = 32 \] , \( 15 \) ও \( 14 \) গুণ করলে:

\[ 32 \times 15 \times 14 = 32 \times 210 = 6720 \]

\[ 8 \times (8 - 1) \times (8 - 2) \times (8 - 3) \] = \( 8 \times 7 \times 6 \times 5 \) = \( 8 \times 7 \times 30 \) = \( 8 \times 210 = 1680 \)

\[ 2 \times (2 \times 4) \times (2 \times 4 - 1) \times (2 \times 4 - 2) \] = \( 2 \times 8 \times 7 \times 6 \) = \( 2 \times 8 \times 42 \) = \( 2 \times 336 = 672 \) ডানে:

\[ 4 \times (4 - 1) \times (4 - 2) \times (4 - 3) \] = \( 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \) অর্থাৎ, সমান নয়। চলুন \( n = 6 \): বামে:

\[ 2 \times 12 \times 11 \times 10 = 2 \times 12 \times 110 = 2 \times 1320 = 2640 \] ডানে:

\[ 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 6 \times 5 \times 12 = 6 \times 60 = 360 \] নাহ, আবার না। এখন, \( n = 8 \) এর জন্য আবার পরীক্ষা করি। প্রথমে, সমীকরণের ভুল বোঝার কারণে হয়তো ভুল হয়েছে। আসুন সরাসরি সমীকরণটি আবার লিখি: \[ 2nP3 = 2 \times nP4 \] অর্থাৎ, \[ 2 \times \frac{(2n)!}{(2n - 3)!} = 2 \times \frac{n!}{(n - 4)!} \] দুটি পাশ থেকে 2 কেটে গেলে, \[ \frac{(2n)!}{(2n - 3)!} = \frac{n!}{(n - 4)!} \] এখন, বামে: \[ (2n) \times (2n - 1) \times (2n - 2) = \text{(প্রথম তিনটি সংখ্যার গুণফল)} \] অর্থাৎ, \[ (2n) \times (2n - 1) \times (2n - 2) = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times (n - 3) \] এখানে, যদি আমরা \( n = 8 \) রাখি: বামে: \[ (16) \times 15 \times 14 = 16 \times 15 \times 14 \] গুণফল: \[ 16 \times 15 = 240 \] \[ 240 \times 14 = 3360 \] ডানে: \[ 8 \times 7 \times 6 \times 5 \] গুণফল: \[ 8 \times 7 = 56 \] \[ 56 \times 6 = 336 \] \[ 336 \times 5 = 1680 \] উভয়টি সমান নয়। তবে লক্ষ্য করুন, প্রথমে দেওয়া সমীকরণে হয়তো ভুল ছিল। আসুন আবার মূল সমীকরণটি পুনরায় বিশ্লেষণ করি। মূল সমীকরণ: \[ 2nP3 = 2 \times nP4 \] প্রতিটি পারমুটেশনের মান: \[ 2nP3 = \frac{(2n)!}{(2n - 3)!} \] \[ nP4 = \frac{n!}{(n - 4)!} \] অতএব, সমীকরণ: \[ \frac{(2n)!}{(2n - 3)!} = 2 \times \frac{n!}{(n - 4)!} \] এবং, \[ (2n) \times (2n - 1) \times (2n - 2) = 2 \times n \times (n - 1) \times (n - 2) \times (n - 3) \] এখন, \( n \neq 0 \), তাই, উভয় পাশে \( n \) ভাগ করলে: \[ (2n) \times (2n - 1) \times (2n - 2) = 2 \times n \times (n - 1) \times (n - 2) \times (n - 3) \] সুতরাং, \[ (2) \times (2n - 1) \times (2n - 2) = 2 \times (n - 1) \times (n - 2) \times (n - 3) \] অথবা, \[ (2n - 1) \times (2n - 2) = (n - 1) \times (n - 2) \times (n - 3) \] এখানে, \( 2n - 2 = 2(n - 1) \), তাই, \[ (2n - 1) \times 2(n - 1) = (n - 1) \times (n - 2) \times (n - 3) \] দুটি পাশে \( (n - 1) \) থাকলে, \( n \neq 1 \), তাহলে: \[ (2n - 1) \times 2 = (n - 2) \times (n - 3) \] এখন, \[ 2(2n - 1) = (n - 2)(n - 3) \] বামে: \[ 4n - 2 \] ডানে: \[ (n - 2)(n - 3) = n^2 - 3n - 2n + 6 = n^2 - 5n + 6 \] অতএব, \[ 4n - 2 = n^2 - 5n + 6 \] সমীকরণ সাজান: \[ n^2 - 5n + 6 - 4n + 2 = 0 \] \[ n^2 - 9n + 8 = 0 \] এটি একটি কোয়াড্রাটিক সমীকরণ: \[ n^2 - 9n + 8 = 0 \] সমাধান: \[ n = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \times 1 \times 8}}{2} \] \[ n = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2} \] \[ n = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2} \] \[ n = \frac{9 \pm 7}{2} \] অতএব, \[ n = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \] অথবা, \[ n = \frac{9 - 7}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] যেহেতু \( n = 1 \) জন্য পারমুটেশন গণনা করতে গেলে, \( nP4 \) মানে \( 1P4 \), যা অসম্ভব কারণ \( r > n \), তাই এটি অপ্রযোজ্য। অতএব, মূল সমাধান হলো: \[ \boxed{n = 8} \] ---

উত্তর:

n এর মান হলো 8