tan^2(α + π/4) − 1 / tan^2(α + π/4) + 1 = ?
Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ:
\[
\frac{\tan^2\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) - 1}{\tan^2\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) + 1}
\]
প্রথমে, \(\tan\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)\) এর জন্য পরিচিত ট্রিগনোমেট্রিক সূত্রটি ব্যবহার করব:
\[
\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}
\]
এখানে, \(A = \alpha\), \(B = \frac{\pi}{4}\), এবং \(\tan \frac{\pi}{4} = 1\)।
অতএব,
\[
\tan\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan \alpha + 1}{1 - \tan \alpha}
\]
আসুন, সেটির উপর ভিত্তি করে \(x = \tan \alpha\) ধরি। তাহলে,
\[
t = \tan\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{x + 1}{1 - x}
\]
এখন, সমীকরণের বর্গ মান:
\[
t^2 = \left(\frac{x + 1}{1 - x}\right)^2
\]
সমীকরণে থাকা \(\tan^2(\alpha + \frac{\pi}{4})\) এর জন্য:
\[
\frac{t^2 - 1}{t^2 + 1}
\]
প্রথমে, \(t^2\) এর মান নির্ণয় করি:
\[
t^2 = \frac{(x + 1)^2}{(1 - x)^2}
\]
এখন, এই মান দিয়ে মূল সমীকরণ লিখি:
\[
\frac{\frac{(x + 1)^2}{(1 - x)^2} - 1}{\frac{(x + 1)^2}{(1 - x)^2} + 1}
\]
সাধারণ সূত্রে, উভয় ভগ্নাংশের লসান:
\[
= \frac{\frac{(x + 1)^2 - (1 - x)^2}{(1 - x)^2}}{\frac{(x + 1)^2 + (1 - x)^2}{(1 - x)^2}}
\]
উভয় ভাগফলকে সাধারণ ভগ্নাংশের উপর ভাগ করলে:
\[
= \frac{(x + 1)^2 - (1 - x)^2}{(x + 1)^2 + (1 - x)^2}
\]
এখন, উভয় বর্গের মান নির্ণয় করি:
\[
(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1
\]
\[
(1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2
\]
তাহলে,
\[
\text{Numerator} = (x^2 + 2x + 1) - (1 - 2x + x^2) = x^2 + 2x + 1 - 1 + 2x - x^2 = 4x
\]
\[
\text{Denominator} = (x^2 + 2x + 1) + (1 - 2x + x^2) = x^2 + 2x + 1 + 1 - 2x + x^2 = 2x^2 + 2
\]
অতএব,
\[
\frac{4x}{2x^2 + 2} = \frac{4x}{2(x^2 + 1)} = \frac{2x}{x^2 + 1}
\]
সুতরাং, মূল সমাধান হলো:
\[
\boxed{\frac{\tan^2\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) - 1}{\tan^2\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) + 1} = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha}}
\]
এবং, আমরা জানি,
\[
\frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \sin 2\alpha
\]
অতএব,
উত্তর:
\[
\boxed{\sin 2\alpha}
\]
