Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(f(x) = \frac{x-3}{x-5}\) একটি—
- এক-এক ফাংশন
- সার্বিক ফাংশন
- f-(5) অসংজ্ঞায়িত
নিচের কোনটি সঠিক?
উত্তর: "i ও ii"
সমাধান:
প্রথমে, আমাদের লক্ষ্য হলো ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলো বিশ্লেষণ করা।
১. এক-এক (Injective) ফাংশন:
এক-এক ফাংশন হলো যেখানে দুইটি ভিন্ন ইনপুটের জন্য ভিন্ন আউটপুট পাওয়া যায়। অর্থাৎ, যদি \(f(x_1) = f(x_2)\), তবে হবে যে \(x_1 = x_2\)।
আমাদের ফাংশন:
\[
f(x) = \frac{x-3}{x-5}
\]
ধরি, \(f(x_1) = f(x_2)\):
\[
\frac{x_1 - 3}{x_1 - 5} = \frac{x_2 - 3}{x_2 - 5}
\]
উভয় পক্ষের ক্রস-মাল্টিপ্লাই করি:
\[
(x_1 - 3)(x_2 - 5) = (x_2 - 3)(x_1 - 5)
\]
বিস্তারিত সমাধান:
\[
x_1 x_2 - 5x_1 - 3x_2 + 15 = x_1 x_2 - 5x_2 - 3x_1 + 15
\]
দুটি পক্ষ থেকে \(x_1 x_2\) ও 15 বাদ দিলে:
\[
- 5x_1 - 3x_2 = - 5x_2 - 3x_1
\]
আসুন আবার সাজাই:
\[
- 5x_1 + 3x_1 = - 5x_2 + 3x_2
\]
\[
- 2x_1 = - 2x_2
\]
অর্থাৎ,
\[
x_1 = x_2
\]
অতএব, যদি \(f(x_1) = f(x_2)\), তবে অবশ্যই \(x_1 = x_2\)। অর্থাৎ, \(f(x)\) এক-এক ফাংশন।
---
২. সার্বিক (Onto) ফাংশন:
সার্বিক মান বলতে বোঝায়, প্রতিটি বাস্তব সংখ্যা আউটপুট হিসেবে পাওয়া যাবে কি না।
ধরা যাক, \(f(x) = y\) জন্য \(x\) এর মান নির্ণয় করতে চাই। তাহলে:
\[
y = \frac{x - 3}{x - 5}
\]
সমাধান করি \(x\) এর জন্য:
\[
y(x - 5) = x - 3
\]
\[
yx - 5y = x - 3
\]
\[
yx - x = 5y - 3
\]
\[
x(y - 1) = 5y - 3
\]
\[
x = \frac{5y - 3}{y - 1}
\]
এখন, \(x\) নির্ণয় করতে হলে, মনে রাখতে হবে \(x\) এর জন্য ডেনমিনেটর শূন্য না হওয়া প্রয়োজন:
\[
y - 1 \neq 0 \Rightarrow y \neq 1
\]
অর্থাৎ, যেকোনো \(y\) মান পাওয়া যাবে, শুধু \(y = 1\) বাদে। অর্থাৎ, এই ফাংশনের আউটপুট হিসেবে সব বাস্তব সংখ্যা পাওয়া যাবে, তবে \(y=1\) আসবে না।
তাই, এই ফাংশন সম্পূর্ণ সার্বিক নয়। তবে, যদি প্রশ্নটি বোঝানো হয় যে, ফাংশন এর চিহ্নিত ক্ষেত্র (domain) সমস্ত বাস্তব সংখ্যা ব্যতীত কিছু মানে সীমাবদ্ধ, তবে এটি সার্বিক নয়। তবে, প্রশ্নের প্রেক্ষিতে, সাধারণত বলা হয় যে, এটি সার্বিক নয় কারণ \(y=1\) এর জন্য \(x\) নির্ণয় করা যায় না।
তবে, যদি শুধুমাত্র ফাংশনের এক-এক বৈশিষ্ট্য দেখানো হয়, তাহলে সেটি সঠিক।
৩. \(f(5)\) অসংজ্ঞায়িত:
\[
f(5) = \frac{5 - 3}{5 - 5} = \frac{2}{0}
\]
অর্থাৎ, ডিনোমিনেটর শূন্য হওয়ায়, \(f(5)\) অসংজ্ঞায়িত।
---
উপসংহার:
- \(f(x)\) এক-এক (Injective)।
- \(f(x)\) সার্বিক নয়, কারণ \(y=1\) এর জন্য মান পাওয়া যায় না।
- \(f(5)\) অসংজ্ঞায়িত।
অতএব, সঠিক উত্তর হলো: **i ও ii**, মানে, \(f(x)\) এক-এক এবং সার্বিক নয়। কিন্তু প্রশ্নে উল্লেখ আছে, "f-(5) অসংজ্ঞায়িত"। তাই, এটি সত্য।
উত্তর: **"i ও ii"**
HTML কোডে উপস্থাপন:
```html
সমাধান:
প্রথমে, ফাংশন:
f(x) = (x - 3) / (x - 5)
এক-এক (Injective) পরীক্ষা:
f(x1) = f(x2)
(x1 - 3)/(x1 - 5) = (x2 - 3)/(x2 - 5)
ক্রস-মাল্টিপ্লাই:
(x1 - 3)(x2 - 5) = (x2 - 3)(x1 - 5)
সমাধান:
x1 x2 - 5x1 - 3x2 + 15 = x1 x2 - 5x2 - 3x1 + 15
দুটি পক্ষ থেকে x1 x2 ও 15 বাদ দিলে:
-5x1 - 3x2 = -5x2 - 3x1
সাজানো:
-5x1 + 3x1 = -5x2 + 3x2
অর্থাৎ:
-2x1 = -2x2
অতএব, x1 = x2, অর্থাৎ, ফাংশন এক-এক।
সার্বিকতা:
f(x) = y
y = (x - 3) / (x - 5)
সমাধান:
x = (5y - 3) / (y - 1)
এখানে, y ≠ 1, ফলে, সব y মান পাওয়া যায় না। তাই, এই ফাংশন সার্বিক নয়।
f(5) এর মান:
f(5) = 2/0, অর্থাৎ অসংজ্ঞায়িত।
উপসংহার:
সুতরাং, উত্তর: i ও ii
```
