Another Explanation (5): প্রথমে, দেওয়া ফাংশন \(f(x) = \sin 2x\) এর উপর ভিত্তি করে প্রতিটি ইন্টিগ্রাল সমাধান পর্যায়ক্রমে দেখব।
---
**(i) \(\int f(x) dx = -\frac{\cos 2x}{2} + c\)**
নির্ণয়:
\[
\int \sin 2x \, dx
\]
উপরে, আমরা জানি:
\[
\int \sin kx \, dx = -\frac{\cos kx}{k} + c
\]
সুতরাং,
\[
\int \sin 2x \, dx = -\frac{\cos 2x}{2} + c
\]
অতএব, **(i) সঠিক**।
---
**(ii) \(\int \sqrt{1 + f(x)} dx = \sin x - \cos x + c\)**
নির্ণয়:
\[
\int \sqrt{1 + \sin 2x} \, dx
\]
প্রথম, \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\), তাই:
\[
\sqrt{1 + 2 \sin x \cos x}
\]
ব্যবহার করি:
\[
1 + 2 \sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2
\]
কারণ:
\[
(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2 \sin x \cos x
\]
অতএব,
\[
\sqrt{1 + \sin 2x} = |\sin x + \cos x|
\]
এখন,
\[
\int |\sin x + \cos x| \, dx
\]
যেহেতু \(x \in [0, \pi/2]\), সেখানে \(\sin x\) ও \(\cos x\) উভয়ই ধনাত্মক, তাই:
\[
\sin x + \cos x \geq 0
\]
অতএব,
\[
\int (\sin x + \cos x) \, dx = -\cos x + \sin x + c
\]
এবং ইন্টিগ্রালটির ফলাফল:
\[
\sin x - \cos x + c
\]
অতএব, **(ii) সঠিক**।
---
**(iii) \(\int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - f(x)} dx = 0\)**
নির্ণয়:
\[
\int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - \sin 2x} \, dx
\]
আমরা জানি,
\[
1 - \sin 2x = 1 - 2 \sin x \cos x
\]
প্রথমত, \(1 - \sin 2x\) এর মানের সীমা নির্ণয় করি।
বিশ্লেষণ:
\[
\sin 2x \in [0, 1] \quad \text{(যেহেতু \(x \in [0, \pi/2]\))}
\]
অতএব,
\[
1 - \sin 2x \in [0,1]
\]
এবং, \(\sqrt{1 - \sin 2x}\) অবশ্যই ধনাত্মক বা শূন্য। এখন, যখন \(\sin 2x = 1\), তখন \(\sqrt{1 - 1} = 0\), অর্থাৎ, \(x = \pi/4\)।
অতএব, ইন্টিগ্রালটি:
\[
\int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - \sin 2x} \, dx
\]
এটি শূন্যের সমান নয়, কারণ এর মান শূন্যের কাছাকাছি নয় (প্রতিটি অবিচ্ছিন্ন অংশের জন্য)। বিশেষ করে, \(\sqrt{1 - \sin 2x}\) ইন্টিগ্রালের মান শূন্যের সমান হওয়া অসম্ভব, কারণ এই ফাংশনের মান কমপক্ষে 0 এবং সর্বোচ্চ 1।
সুতরাং, ইন্টিগ্রালটির মান 0 নয়, বরং এটি একটি ধনাত্মক মান হবে। অতএব, **(iii) ভুল**।
---
### **উপসংহার**:
- (i) সঠিক
- (ii) সঠিক
- (iii) ভুল
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো:
**"i ও ii"**।
---
**সম্পূর্ণ সমাধান HTML-এ:**
```html
প্রথমে, দেওয়া ফাংশন f(x) = sin 2x এর উপর ভিত্তি করে প্রতিটি ইন্টিগ্রাল সমাধান পর্যায়ক্রমে দেখব।
(i) ∫ f(x) dx = - (cos 2x) / 2 + c
নির্ণয়:
∫ sin 2x dx
উপরে, আমরা জানি:
∫ sin kx dx = - (cos kx) / k + c
সুতরাং,
∫ sin 2x dx = - (cos 2x) / 2 + c
অতএব,
(i) সঠিক।
(ii) ∫ √(1 + f(x)) dx = sin x - cos x + c
নির্ণয়:
∫ √(1 + sin 2x) dx
প্রথম,
sin 2x = 2 sin x cos x, তাই:
√(1 + 2 sin x cos x)
ব্যবহার করি:
1 + 2 sin x cos x = (sin x + cos x)^2
কারণ:
(sin x + cos x)^2 = sin^2 x + 2 sin x cos x + cos^2 x = 1 + 2 sin x cos x
অতএব,
√(1 + sin 2x) = |sin x + cos x|
এখন,
x ∈ [0, π/2], সেখানে \(\sin x \geq 0\) ও \(\cos x \geq 0\), তাই:
|sin x + cos x| = sin x + cos x
অতএব,
∫ (sin x + cos x) dx = - cos x + sin x + c
অতএব, ফলাফল:
sin x - cos x + c।
(ii) সঠিক।
(iii) ∫_0^{π/2} √(1 - f(x)) dx = 0
নির্ণয়:
∫_0^{π/2} √(1 - sin 2x) dx
আমরা জানি,
1 - sin 2x = 1 - 2 sin x cos x
প্রথমত,
1 - sin 2x এর মানের সীমা নির্ণয় করি:
sin 2x ∈ [0, 1], তাই 1 - sin 2x ∈ [0, 1]
এবং,
√(1 - sin 2x) ধনাত্মক বা শূন্য। যখন \(\sin 2x = 1\), তখন
√(1 - 1) = 0। কেবলমাত্র x = \(\pi/4\) এ।
এবং, এই ইন্টিগ্রালের মান শূন্যের সমান নয়, বরং এটি একটি ধনাত্মক মান। অতএব,
(iii) ভুল।
---
### **উপসংহার:**
- (i) সঠিক
- (ii) সঠিক
- (iii) ভুল
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো:
**"i ও ii"**।
```
