ln(1+x) এর অনন্ত ধারাটি x এর কোন মানের জন্য সত্য?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \(\ln(1+x)\) এর অনন্ত ধারাটি \(x\) এর কোন মানের জন্য সত্য?

উত্তর: \(-1 < x \leq 1\)

সমাধান:

আমরা জানি যে, \(\ln(1+x)\) এর টেলিসের জন্য ম্যাক্লরিন (Taylor) ধারাটি প্রকাশ করা যায়:

\[ \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^{n}}{n} \]

এই ধারাটির উপর গবেষণা করে দেখা যায় যে, এই সিরিজটি কবে আবর্তিত হতে শুরু করে এবং কবে অনন্ত ধারার জন্য সত্য হয়।

আসুন, এই সিরিজের ধারা নির্ণয় করি।

সাধারণত, একটি রৈখিক সিরিজ \(\sum a_{n}\) এর জন্য, ধারা আবর্তিত হয় যখন:

\[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right| < 1 \]

এখানে,

\[ a_{n} = (-1)^{n+1} \frac{x^{n}}{n} \]

অতএব,

\[ \left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right| = \left| \frac{ \frac{x^{n+1}}{n+1} }{ \frac{x^{n}}{n} } \right| = \left| \frac{x^{n+1}}{n+1} \times \frac{n}{x^{n}} \right| = |x| \times \frac{n}{n+1} \]

যখন \(n \to \infty\), তাহলে,

\[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right| = |x| \times \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = |x| \times 1 = |x| \]

সুতরাং, সিরিজটি আবর্তিত হয় যখন:

\[ |x| < 1 \]

অর্থাৎ, এই সিরিজের অনন্ত ধারাটি সত্য হয় যখন:

\[ -1 < x < 1 \]

তবে, আমাদের দেখতে হবে কি এই সীমান্তে সিরিজটি কিভাবে কাজ করে।

উপযুক্ত সীমান্তে, অর্থাৎ, \(x = 1\) বা \(x = -1\), সিরিজের অবস্থা পরীক্ষা করি।

১. যখন \(x=1\):

\[ \ln(1+1) = \ln 2 \] শুধু সিরিজটি পরীক্ষা করি: \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1^{n}}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \] এটি আলটার্নেটিং সিরিজের একটি সাধারণ উদাহরণ, যা যথেষ্ট ধ্রুবক এবং কনভার্জেন্ট। এই সিরিজের সিম্পলি চেক করতে হয়: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \] এবং সিরিজের অংগগুলি ধ্রুবক বা ধ্রুবক থেকে কমে আসে, সুতরাং, সিরিজটি ধ্রুবক সমষ্টিতে কনভার্জেন্ট। অর্থাৎ, সিরিজটি \(x=1\) এ কনভার্জেন্ট। ২. যখন \(x=-1\):

\[ \ln(1 - 1) = \ln 0 \to -\infty \] এটি অস্পষ্ট বা অসম্ভব, কারণ \(\ln 0\) অসীম। সিরিজের জন্য: \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{(-1)^{n}}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{2n+1}}{n} \] এখানে, \((-1)^{2n+1} = -1\), ফলে সিরিজটি: \[ - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \] যা অসীম ধ্রুবক, অর্থাৎ, কনভার্জেন্ট নয়। সুতরাং, সিরিজটি শুধুমাত্র \(x=1\) এ কনভার্জেন্ট হয়। **সিদ্ধান্ত:** \[ \boxed{ \text{সুতরাং, \(\ln(1+x)\) এর অনন্ত ধারাটি সত্য হয় যখন} \quad -1 < x \leq 1 } \] **উপসংহার:**

অতএব, \(\ln(1+x)\) এর অনন্ত ধারাটি সত্য হয় এই মানের জন্য:

\[ \boxed{ -1 < x \leq 1 } \]