intx^x(1+logx) dx=? 

ধরি, \(I = \int x^x (1 + \log x) \, dx\)

আমরা জানি, \(x^x = e^{\log x^x} = e^{x \log x}\)

সুতরাং, \(I = \int e^{x \log x} (1 + \log x) \, dx\)

এখন, ধরি \(u = x \log x\)

তাহলে, \(\frac{du}{dx} = x \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot 1 = 1 + \log x\)

সুতরাং, \(du = (1 + \log x) \, dx\)

অতএব, \(I = \int e^u \, du\)

আমরা জানি, \(\int e^u \, du = e^u + c\), যেখানে \(c\) একটি সমাকলন ধ্রুবক।

সুতরাং, \(I = e^u + c = e^{x \log x} + c = x^x + c\)

অতএব, \(\int x^x (1 + \log x) \, dx = x^x + c\) 🎉