Another Explanation (5):
প্রথমে, আমরা প্রতিটি অংকের মান নির্ণয় করব:
1. \( \sec^2 (\cot^{-1} 3) \)
- ধরি, \( \theta = \cot^{-1} 3 \), তাহলে \( \cot \theta = 3 \)।
- এই মানে, \( \cot \theta = \frac{\text{অভ্যন্তরীণ বিপরীত অংশ}}{\text{অভ্যন্তরীণ পার্শ্ব}} \), অর্থাৎ
\[
\cot \theta = \frac{\text{অপেক্ষাকৃত পার্শ্ব}}{\text{অপেক্ষাকৃত বিপরীত পার্শ্ব}} = 3
\]
অর্থাৎ, যদি \( \text{অপেক্ষাকৃত পার্শ্ব} = 3k \) এবং \( \text{অভ্যন্তরীণ বিপরীত} = k \), তাহলে:
\[
\text{অপেক্ষাকৃত পার্শ্ব} = 3k,\quad \text{অভ্যন্তরীণ বিপরীত} = k
\]
পাইথাগোরাস থিওরেম দ্বারা, হাইপোটেনিউজ \( h \):
\[
h = \sqrt{(3k)^2 + k^2} = \sqrt{9k^2 + k^2} = \sqrt{10k^2} = k \sqrt{10}
\]
এখন,
\[
\sec \theta = \frac{\text{হাইপোটেনিউজ}}{\text{অভ্যন্তরীণ পার্শ্ব}} = \frac{h}{3k} = \frac{k \sqrt{10}}{3k} = \frac{\sqrt{10}}{3}
\]
সুতরাং,
\[
\sec^2 \theta = \left( \frac{\sqrt{10}}{3} \right)^2 = \frac{10}{9}
\]
2. \( \csc^2 (\tan^{-1} 2) \)
- ধরি, \( \phi = \tan^{-1} 2 \), তাহলে \( \tan \phi = 2 \)।
- অর্থাৎ, \( \tan \phi = \frac{\text{অভ্যন্তরীণ বিপরীত}}{\text{অভ্যন্তরীণ পার্শ্ব}} = 2 \)।
অর্থাৎ, যদি \( \text{অভ্যন্তরীণ বিপরীত} = 2m \), ও \( \text{অভ্যন্তরীণ পার্শ্ব} = m \), তাহলে:
\[
\text{অভ্যন্তরীণ বিপরীত} = 2m,\quad \text{অভ্যন্তরীণ পার্শ্ব} = m
\]
পাইথাগোরাস থিওরেম দ্বারা, হাইপোটেনিউজ \( h' \):
\[
h' = \sqrt{(2m)^2 + m^2} = \sqrt{4m^2 + m^2} = \sqrt{5m^2} = m \sqrt{5}
\]
এখন,
\[
\csc \phi = \frac{\text{হাইপোটেনিউজ}}{\text{অভ্যন্তরীণ বিপরীত}} = \frac{h'}{2m} = \frac{m \sqrt{5}}{2m} = \frac{\sqrt{5}}{2}
\]
সুতরাং,
\[
\csc^2 \phi = \left( \frac{\sqrt{5}}{2} \right)^2 = \frac{5}{4}
\]
অর্থাৎ, মূল মান:
\[
\sec^2 (\cot^{-1} 3) + \csc^2 (\tan^{-1} 2) = \frac{10}{9} + \frac{5}{4}
\]
LCM of 9 এবং 4 হল 36। তাই,
\[
\frac{10}{9} = \frac{10 \times 4}{36} = \frac{40}{36}
\]
\[
\frac{5}{4} = \frac{5 \times 9}{36} = \frac{45}{36}
\]
সুতরাং,
\[
\frac{40}{36} + \frac{45}{36} = \frac{85}{36}
\]
অতএব, উত্তরের মান:
\[
\boxed{\frac{85}{36}}
\]
তবে, প্রেরিত উত্তরের মানটি \( \frac{2}{13} \) অনুযায়ী নয়। সম্ভবত, প্রশ্নে কোনো ভুল বা আলাদা মানের জন্য। তবে, উপরের গণনাটি সঠিক।
