For triangle ABC, a= 2x + 3, b= x² + 3x + 3 and c = x² + 2x. The largest angle of the triangle is -- 

∆ ABC-এ, বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য \(a = 2x + 3\), \(b = x^2 + 3x + 3\) এবং \(c = x^2 + 2x\)। বৃহত্তম কোণটি নির্ণয় করতে হবে।

যেহেতু বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কোণটি বৃহত্তম হবে, তাই আমাদের \(a\), \(b\) ও \(c\) এর মধ্যে বৃহত্তম বাহু খুঁজে বের করতে হবে।

x এর মান ধনাত্মক হতে হবে, কারণ বাহুর দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না। এখন, \(x > 0\) এর জন্য, আমরা \(b - c\) হিসাব করি:

\(b - c = (x^2 + 3x + 3) - (x^2 + 2x) = x + 3 > 0\)

সুতরাং, \(b > c\)।

এখন, \(b - a\) হিসাব করি:

\(b - a = (x^2 + 3x + 3) - (2x + 3) = x^2 + x = x(x + 1) > 0\)

সুতরাং, \(b > a\)।

অতএব, \(b\) বৃহত্তম বাহু এবং \(\angle B\) বৃহত্তম কোণ।

এখন, কোসাইন সূত্র ব্যবহার করে, আমরা পাই:

\(\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\)

\(\cos B = \frac{(2x + 3)^2 + (x^2 + 2x)^2 - (x^2 + 3x + 3)^2}{2(2x + 3)(x^2 + 2x)}\)

\(\cos B = \frac{4x^2 + 12x + 9 + x^4 + 4x^3 + 4x^2 - (x^4 + 9x^2 + 9 + 6x^3 + 6x^2 + 18x)}{2(2x^3 + 4x^2 + 3x^2 + 6x)}\)

\(\cos B = \frac{x^4 + 4x^3 + 8x^2 + 12x + 9 - x^4 - 6x^3 - 15x^2 - 18x - 9}{2(2x^3 + 7x^2 + 6x)}\)

\(\cos B = \frac{-2x^3 - 7x^2 - 6x}{2(2x^3 + 7x^2 + 6x)}\)

\(\cos B = \frac{-x(2x^2 + 7x + 6)}{2x(2x^2 + 7x + 6)} = -\frac{1}{2}\)

অতএব, \(B = \cos^{-1}(-\frac{1}{2}) = 120^\circ\)

সুতরাং, ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ \(120^\circ\)। 🎉