Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্নে দেওয়া ইন্টেগ্রালটি হলো:
\[ \int \frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x} \, dx \]
ধাপ ১: ট্রিগনোমেট্রিক পরিচিতি ব্যবহার করে
\(\cos 2x\) এর জন্য পরিচিতি:
\[ \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 \]
অথবা,
\[ 1 + \cos 2x = 1 + (2 \cos^2 x - 1) = 2 \cos^2 x \]
এবং,
\[ 1 - \cos 2x = 1 - (2 \cos^2 x - 1) = 2 - 2 \cos^2 x = 2 (1 - \cos^2 x) = 2 \sin^2 x \]
সুতরাং,
\[ \frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x} = \frac{2 \sin^2 x}{2 \cos^2 x} = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \tan^2 x \]
ধাপ ২: ইন্টেগ্রালটি রূপান্তর
অতএব,
\[ \int \frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x} \, dx = \int \tan^2 x \, dx \]
ধাপ ৩: \(\tan^2 x\) এর ইন্টেগ্রাল
জানা আছে:
\[ \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \]
অতএব,
\[ \int \tan^2 x \, dx = \int (\sec^2 x - 1) \, dx = \int \sec^2 x \, dx - \int 1 \, dx \]
\[ = \tan x - x + C \]
উপসংহার:
অতএব,
\[ \boxed{\int \frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x} \, dx = \tan x - x + C} \]
