একটি সরলরেখা কর্তৃক y -অক্ষের খন্ডিতাংশ 3 এবং রেখাটি \( 2x + 3y + 5 = 0 \) এর উপর লম্ব। রেখাটির সমীকরণ কোনটি?

প্রশ্ন: একটি সরলরেখা কর্তৃক y-অক্ষের খন্ডিতাংশ 3 এবং রেখাটি \(2x + 3y + 5 = 0\) এর উপর লম্ব। রেখাটির সমীকরণ কোনটি?

সমাধান:

ধরি, রেখাটির সমীকরণ \( y = m x + c \)।

ধাপ ১: y-অক্ষের খণ্ডিতাংশ ৩

y-অক্ষের খণ্ডিতাংশ মানে যেখানে রেখাটি y-অক্ষের উপর লম্ব, তখন x=0।

রেখাটির y-অক্ষের উপর লম্ব হলে, \(\text{line} \perp \text{y-axis}\)। অর্থাৎ, রেখাটির ঢাল \(m\) হবে অপ্রতিদ্বন্দ্বী বা ধ্রুবক।

ধাপ ২: রেখাটির উপর লম্ব

রেখাটি \(2x + 3y + 5 = 0\) এর উপর লম্ব।

রেখাটির সমীকরণ: \( 2x + 3y + 5 = 0 \)

এর ঢাল: \( m_{1} = -\frac{A}{B} = -\frac{2}{3} \)

ধাপ ৩: রেখাটির ঢাল \(m\) হবে এই লম্বের প্রতি অক্ষের ঢাল

যেহেতু দুই রেখা লম্ব, সুতরাং: \[ m \times m_{1} = -1 \] অর্থাৎ, \[ m \times \left(-\frac{2}{3}\right) = -1 \] অর্থাৎ, \[ m = \frac{3}{2} \]

ধাপ ৪: রেখাটির সমীকরণ লিখি

যেহেতু রেখাটি y-অক্ষের খণ্ডিতাংশ ৩, তাই এটি y-অক্ষের উপর লম্ব। অর্থাৎ, x=0 হলে, রেখাটির y মান হবে 3 বা -3।

ধরা যাক, রেখাটির সমীকরণ \( y = \frac{3}{2} x + c \)

এবং x=0, y=3 (উপযুক্ত ধরনা), তাহলে: \[ 3 = \frac{3}{2} \times 0 + c \Rightarrow c=3 \] অতএব, রেখাটির সমীকরণ: \[ y = \frac{3}{2} x + 3 \] যা স্ট্যান্ডার্ড আকারে লিখলে: \[ \frac{3}{2} x - y + 3=0 \] এটি সমীকরণকে সরল করলে: \[ 3x - 2 y + 6 = 0 \]

উত্তর:

\( \boxed{3x - 2 y + 6 = 0} \)