\( 2x+5y+10=0 \) দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখা এবং অক্ষদ্বয় দ্বারা বেষ্টিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

প্রশ্নঃ

প্রশ্ন: \( 2x + 5y + 10 = 0 \) দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখা এবং অক্ষদ্বয় দ্বারা বেষ্টিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

উত্তর:

ধরি, সরলরেখা: \( 2x + 5y + 10 = 0 \)

ধাপ ১: রেখার অণুকোণ বিন্দুগুলি নির্ণয়

অক্ষদ্বয়: x-অক্ষ (y=0), y-অক্ষ (x=0)

অক্ষদ্বয় দ্বারা রেখার ছেদ বিন্দু নির্ণয়:

1. যখন y=0, তখন:

\( 2x + 10 = 0 \Rightarrow 2x = -10 \Rightarrow x = -5 \)

অতএব, রেখার x-অক্ষের ছেদ বিন্দু: \( (-5, 0) \)

2. যখন x=0, তখন:

\( 5y + 10 = 0 \Rightarrow 5y = -10 \Rightarrow y = -2 \)

অতএব, রেখার y-অক্ষের ছেদ বিন্দু: \( (0, -2) \)

ধাপ ২: ত্রিভুজের শীর্ষ বিন্দুগুলি নির্ণয়

অক্ষদ্বয় দ্বারা বেষ্টিত ত্রিভুজের শীর্ষ বিন্দুগুলি হলো:

• অক্ষের উপর ছেদ বিন্দু: \( (-5, 0) \) ও \( (0, -2) \)
• অক্ষের উপর অন্যান্য বিন্দু: (0,0) (অক্ষের স্বাভাবিক বিন্দু)

তাই, ত্রিভুজের শীর্ষ বিন্দুগুলি হলো:

1. \( A = (-5, 0) \)
2. \( B = (0, -2) \)
3. \( C = (0, 0) \)

ধাপ ৩: ক্ষেত্রফল নির্ণয়

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সূত্র:

\( \text{Area} = \frac{1}{2} | x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) | \)

প্রতিস্থাপন করলে:

\( x_1 = -5, y_1=0 \)
\( x_2=0, y_2=-2 \)
\( x_3=0, y_3=0 \)

\begin{aligned}
\text{Area} &= \frac{1}{2} | -5(-2 - 0) + 0(0 - 0) + 0(0 - (-2)) | \\
&= \frac{1}{2} | -5(-2) + 0 + 0 | \\
&= \frac{1}{2} | 10 | \\
&= \frac{1}{2} \times 10 = 5
\end{aligned}

উত্তর:

তাই, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হলো: 5 বর্গ একক