Another Explanation (5): প্রশ্ন: \((2, -4)\) এবং \((-3, 6)\) বিন্দু দুটির সংযোগ রেখাটি \(x\)-অক্ষকে যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় করো।
উত্তর: "02:03:00"
---
প্রথমে, ধরি যে রেখাটির \(x\)-অক্ষকে \(P\) বিন্দুতে বিভক্ত করে। \(P\) বিন্দুটি \((x, 0)\) বিন্দুতে অবস্থিত।
অর্থাৎ, বিন্দু \(P\) থেকে \((2, -4)\) পর্যন্ত দূরত্ব \(k\) অনুপা??ের জন্য হবে, এবং \((-3, 6)\) থেকে \(P\) পর্যন্ত দূরত্ব হবে \(1 - k\), যেখানে \(k\) হলো বিভাজনের অনুপাত (অর্থাৎ, \(P\) থেকে প্রথম বিন্দু পর্যন্ত দূরত্ব অনুপাত \(k\), এবং দ্বিতীয় বিন্দু থেকে \(P\) পর্যন্ত দূরত্ব \(1 - k\) )।
অথবা, যদি বলি, \(P\) বিন্দুটি \(A(2, -4)\) থেকে \(B(-3, 6)\) পর্যন্ত বিভক্ত করে, তবে \(P\) বিন্দুটি বিভাজকের অনুপাত \(k : (1 - k)\)।
সুতরাং, বিন্দু \(P\) এর স্থানাঙ্ক হবে:
\[
x_P = \frac{k \cdot x_B + (1 - k) \cdot x_A}{k + (1 - k)} = \frac{k \cdot (-3) + (1 - k) \cdot 2}{1}
\]
\[
x_P = -3k + 2 - 2k = 2 - 5k
\]
এছাড়া, \(P\) বিন্দু \(x\)-অক্ষে, অর্থাৎ,
\[
x_P = 2 - 5k
\]
এবং,
\[
0 = \frac{k \cdot y_B + (1 - k) \cdot y_A}{1} = k \cdot 6 + (1 - k)(-4)
\]
\[
0 = 6k - 4 + 4k = 10k - 4
\]
অতএব,
\[
10k = 4 \implies k = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}
\]
এখন, \(x_P\) এর মান হবে:
\[
x_P = 2 - 5 \times \frac{2}{5} = 2 - 2 = 0
\]
অর্থাৎ, বিভাজক বিন্দু \(P(0, 0)\) অর্থাৎ, \(x\)-অক্ষের উপর।
এখন, বিভাজনের অনুপাত \(k : (1 - k) = \frac{2}{5} : \frac{3}{5} = 2 : 3\)।
অতএব, রেখাটি \(x\)-অক্ষকে বিভাজন করে অনুপাতে **02:03**।
---
**উত্তর: \(\boxed{02:03}\)**
