4y = 3x - 12 এবং 4y = 3x +3 সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব কত?

প্রশ্নের সমাধান:

দুটি সরলরেখা:

4y = 3x - 12  ....................(1)
4y = 3x + 3    ....................(2)

উভয় সমীকরণ থেকে y এর মান নির্ণয় করি:

প্রথমে, (1) থেকে:
4y = 3x - 12
=> y = \(\frac{3x - 12}{4}\)

দ্বিতীয় থেকে:
4y = 3x + 3
=> y = \(\frac{3x + 3}{4}\)

দুটি রেখার সমীকরণে দেখা যায়, তারা একে অপরের সমান্তরাল কারণ তাদের x এর জন্য সমান কোঅফিসিয়েন্ট (3/4)।

এখন, এই দুই রেখার মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব নির্ণয় করি।

একটি রেখার সমীকরণ: \( y = mx + c \)

এখানে, দুই রেখার সমীকরণ:

রেখা 1: y = \(\frac{3}{4}x - 3\)  (কারণ, \(\frac{-12}{4} = -3\))
রেখা 2: y = \(\frac{3}{4}x + \frac{3}{4}\)

দুটি রেখার মধ্যে দূরত্ব (d) নির্ণয়ের জন্য, যদি দুই রেখার সমীকরণ হয়:

y = mx + c₁
y = mx + c₂

তাহলে, তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব (d) হয়:

d = \(\frac{|c_2 - c_1|}{\sqrt{1 + m^2}}\)

c₁ = -3, c₂ = \(\frac{3}{4}\), m = \(\frac{3}{4}\)

অতএব,

d = \(\frac{\left| \frac{3}{4} - (-3) \right|}{\sqrt{1 + \left( \frac{3}{4} \right)^2}}\) = \(\frac{\left| \frac{3}{4} + 3 \right|}{\sqrt{1 + \frac{9}{16}}}\)

সরলীকরণ করি:

d = \(\frac{\left| \frac{3}{4} + \frac{12}{4} \right|}{\sqrt{\frac{16}{16} + \frac{9}{16}}}\) = \(\frac{\left| \frac{15}{4} \right|}{\sqrt{\frac{25}{16}}}\)

অর্থাৎ,

d = \frac{\frac{15}{4}}{\frac{5}{4}} = \frac{15}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{15 \times 4}{4 \times 5} = \frac{15}{5} = 3

উত্তর: 3