Air is being pumped into a spherical balloon at a rate of 20 in³min^-1. How fast is the radius of the balloon increasing when the radius is 6 in ? Volume of a sphere with radius r is  4/3pir^3 

Ans: B

বেলুনের ব্যাসার্ধ বৃদ্ধির হার নির্ণয় 🎈

ধরি, বেলুনের ব্যাসার্ধ \(r\) এবং বেলুনের আয়তন \(V\)।

দেওয়া আছে, \(\frac{dV}{dt} = 20\) in³/min

আমাদের নির্ণয় করতে হবে, \(\frac{dr}{dt}\) যখন \(r = 6\) in

আমরা জানি, গোলকের আয়তন \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)

এখন, \(t\) এর সাপেক্ষে উভয় দিকে অন্তরীকরণ করে পাই,

\(\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt} \left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)\)

\(\frac{dV}{dt} = \frac{4}{3}\pi \cdot 3r^2 \cdot \frac{dr}{dt}\)

\(\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}\)

সুতরাং, \(\frac{dr}{dt} = \frac{1}{4\pi r^2} \frac{dV}{dt}\)

যখন \(r = 6\) in, তখন

\(\frac{dr}{dt} = \frac{1}{4\pi (6)^2} \cdot 20\)

\(\frac{dr}{dt} = \frac{20}{4\pi \cdot 36}\)

\(\frac{dr}{dt} = \frac{5}{36\pi}\)

\(\frac{dr}{dt} \approx 0.0442\) in/min

অতএব, বেলুনের ব্যাসার্ধ 0.0442 in/min হারে বৃদ্ধি পাচ্ছে।🎉