ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়

দেওয়া আছে, ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য \((\sqrt{3} + 1)\) সেমি এবং বাহু সংলগ্ন কোণ \(30^\circ\) ও \(45^\circ\)। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।

মনে করি, \(ABC\) একটি ত্রিভুজ। \(BC = (\sqrt{3} + 1)\) সেমি, \(\angle B = 30^\circ\) এবং \(\angle C = 45^\circ\)।

প্রথমে, \(\angle A\) এর মান বের করি।

\(\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (30^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ\)

ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য সাইন সূত্র ব্যবহার করি:

\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\)

এখানে, \(a = BC = \sqrt{3} + 1\), \(A = 105^\circ\), \(B = 30^\circ\), \(C = 45^\circ\)।

\(AB = c\) এবং \(AC = b\) ধরে, \(b\) এবং \(c\) এর মান বের করি।

\(\frac{\sqrt{3} + 1}{\sin 105^\circ} = \frac{b}{\sin 30^\circ}\)

\(b = \frac{(\sqrt{3} + 1) \sin 30^\circ}{\sin 105^\circ}\)

\(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)

\(\sin 105^\circ = \sin (60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}\)

\(b = \frac{(\sqrt{3} + 1) \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}} = \sqrt{2}\)

আবার,

\(\frac{\sqrt{3} + 1}{\sin 105^\circ} = \frac{c}{\sin 45^\circ}\)

\(c = \frac{(\sqrt{3} + 1) \sin 45^\circ}{\sin 105^\circ}\)

\(\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(c = \frac{(\sqrt{3} + 1) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}} = 2\)

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, \(\Delta = \frac{1}{2}bc\sin A\)

\(\Delta = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times 2 \times \sin 30^\circ = \sqrt{2} \times \frac{1}{2} \times (\sqrt{3}+1)\)

অথবা, \(\Delta = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2} \times (\sqrt{3}+1) \times \sqrt{2} \times \sin 45^\circ = \frac{1}{2} \times (\sqrt{3}+1) \times \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}(\sqrt{3}+1)\)

ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} \times BC \times AB \times \sin B\)

\(= \frac{1}{2} \times (\sqrt{3}+1) \times 2 \times \sin 45°\)

অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল \(\frac{1}{2}(\sqrt{3}+1)\) বর্গ সেমি।