f(x) = x^2 / (2x)

x = 0 বিন্দুতে - 

সমাধান:

প্রশ্নে দেওয়া ফাংশন:

\[f(x) = \frac{x^2}{2x}\]

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, এই ফাংশনটি যখন \(x \neq 0\), তখন সহজে সরলীকরণ করা যায়:

\[f(x) = \frac{x^2}{2x} = \frac{x \cdot x}{2x} = \frac{x}{2}\]

তবে, যখন \(x = 0\), তখন ডেনোমিনেটর \(2x = 0\), অর্থাৎ ডিভিশন অনির্ধারিত।

অর্থাৎ, এই বিন্দুতে \(f(x)\) এর মান নির্ধারিত নয়।

তবে, যদি ফাংশনটির জন্য ডিফাইনিশনাল বা মান বিদ্যমান কিনা জানতে চাই, তাহলে দেখা দরকার যে, এই বিন্দুতে ফাংশনের মান সংজ্ঞায়িত কি না।

প্রথমে, ফাংশনের জন্য একটি মান নির্ধারণের জন্য, আমরা \(\lim_{x \to 0} f(x)\) নির্ণয় করবো।

গণিত সমাধান:

\[\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2x}\]

অতএব, \(\(x \neq 0\)\) জন্য, ফাংশনটি সরলীকরণ করে পাই:

\[f(x) = \frac{x}{2}\]

অতএব,

\[\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x}{2} = \frac{0}{2} = 0\]

এখন, এই লিমিটটি 0, অর্থাৎ, ফাংশনের কাছাকাছি আসার মান 0।

তবে, এই বিন্দুতে ফাংশনের মান নির্ধারিত নয়, কারণ ডেনোমিনেটর শূন্য।

ফাংশনটি যদি এই বিন্দুতে মান নির্ধারণ করতে চায়, তাহলে সাধারণত সেটি ডিফাইন করতে হবে:

\[f(0) = \text{some value}\]

অর্থাৎ, যদি আমরা ফাংশনটির মান নির্ধারণ করি \(f(0) = 0\), তাহলে ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত হবে।

উপসংহার:

• প্রশ্নে দেওয়া ফাংশনটি মূলত \(\frac{x}{2}\) যখন \(x \neq 0\)।
• বিন্দু \(x=0\) এ ডিভিশন অনির্ধারিত হওয়ায়, ফাংশনের মান বিদ্যমান নয়, যদি নির্দিষ্ট না করি।
• তবে, লিমিটটির মান 0, তাই যদি \(f(0) = 0\) নির্ধারিত হয়, তাহলে ফাংশনের মান বিদ্যমান।

সুতরাং, যদি প্রশ্নের উদ্দেশ্য হয়, "বিন্দু \(x=0\) এ ফাংশনের মান বিদ্যমান কি না?" তবে, উত্তর হবে:

উত্তর: না, যদি শুধুমাত্র ডিফাইন না করি। তবে, লিমিটটির মান থাকায়, যদি \(f(0) = 0\) নির্ধারিত হয়, তবে ফাংশনের মান বিদ্যমান।