যদি \( f \) একটি এক-এক বাস্তব ফাংশন এবং \( f(a^2+1) = f(4a) \) হয়, তবে \( a \) এর মান কোনটি?

Explanation: Solve:\( f(a^2 + 1) = f(4a) \\ \therefore a^2 + 1 = 4a \implies a^2 - 4a + 1 = 0 \\ \implies a = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} \\ \text{Ans. (A)}\)

Another Explanation (5): ```html

সমাধান

যেহেতু \( f \) একটি এক-এক (one-to-one) ফাংশন, তাই \( f(x) = f(y) \) হলে \( x = y \) হবে। এখানে, \( f(a^2+1) = f(4a) \) দেওয়া আছে। সুতরাং, \[ a^2 + 1 = 4a \] এখন, এই সমীকরণটিকে সমাধান করতে হবে: \[ a^2 - 4a + 1 = 0 \] এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। আমরা দ্বিঘাত সূত্রের সাহায্যে \( a \) এর মান বের করতে পারি: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] এখানে, \( a = 1 \), \( b = -4 \) এবং \( c = 1 \)। সুতরাং, \[ a = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} \] \[ a = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} \] \[ a = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} \] \[ a = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} \] \[ a = 2 \pm \sqrt{3} \] সুতরাং, \( a \) এর দুটি মান পাওয়া যায়: \( 2 + \sqrt{3} \) অথবা \( 2 - \sqrt{3} \)। 🤔 কিন্তু উত্তরে শুধুমাত্র \( 2 + \sqrt{3} \) দেওয়া আছে। অতএব, \( a = 2 + \sqrt{3} \) ✅। ```