sin (pi/2)  এর ডোমেন কত, যেখানে  x in ZZ ?

Another Explanation (5):

প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে, \( \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) \) এর ডোমেন কত, যেখানে \( x \in \mathbb{Z} \)।

প্রথমে বুঝে নেওয়া যাক:

• আমরা জানি যে, \( \sin \theta \) এর মূল ডোমেন হলো \( \mathbb{R} \), অর্থাৎ সব রিয়েল সংখ্যাই এর ইনপুট হিসেবে নেওয়া যায়।
• তবে প্রশ্নে উল্লেখ আছে, \( x \in \mathbb{Z} \), অর্থাৎ, শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যা ইনপুট হিসেবে নেওয়া হবে।

এখন, যদি \( x \in \mathbb{Z} \), তবে এর মানে হল:

\( x \) এক পূর্ণসংখ্যা।

তাহলে, \( \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) \) এর জন্য \( x \) এর মান কেমন হবে?

প্রতিটি পূর্ণসংখ্যার জন্য, \( \frac{\pi}{2} \times x \) হবে এমন একটি ইনপুট, যেখানে \( x \in \mathbb{Z} \)।

তাহলে, \( \sin \left( x \times \frac{\pi}{2} \right) \) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

সাধারণত, সাইন ফাংশনের মানের জন্য, আমরা জানি:

• \( \sin \left( \frac{\pi}{2} + n\pi \right) = (-1)^n \), যেখানে \( n \) একটি পূর্ণসংখ্যা।

এখন, \( x \) পূর্ণসংখ্যা হলে, \( x \times \frac{\pi}{2} \) এর মানের জন্য আমরা দেখব:

\( x \) কে লিখা যায় \( x = 2k + r \), যেখানে \( k \in \mathbb{Z} \), এবং \( r \in \{0,1\} \), কারণ আমরা শেষের জন্য \( x \) এর পার্শ্ববর্তী দুইটি শ্রেণী বিবেচনা করছি।

তবে সরাসরি, আমরা জানি যে, \( \sin \left( x \times \frac{\pi}{2} \right) \) এর মান নির্ণয় করতে, মূলত \( x \) এর মানের উপর ভিত্তি করে সেটি নির্ধারিত হয়। বিশেষ করে: - যখন \( x \) এর মান 0, 4, 8, ... (যা 4k), তখন \( \sin \left( \frac{\pi}{2} \times 4k \right) = 0 \) - যখন \( x \) এর মান 1, 5, 9, ... (যা 4k + 1), তখন \( \sin \left( \frac{\pi}{2} \times (4k + 1) \right) = 1 \) - যখন \( x \) এর মান 2, 6, 10, ... (যা 4k + 2), তখন \( \sin \left( \frac{\pi}{2} \times (4k + 2) \right) = 0 \) - যখন \( x \) এর মান 3, 7, 11, ... (যা 4k + 3), তখন \( \sin \left( \frac{\pi}{2} \times (4k + 3) \right) = -1 \) এখানে, মূল বিষয় হলো, যেহেতু \( x \in \mathbb{Z} \), অর্থাৎ পুরো সংখ্যাগুলি, তাই: \(\) যেকোনো পূর্ণসংখ্যা \( x \) এর জন্য, \( \sin \left( \frac{\pi}{2} \times x \right) \) এর মান নির্দিষ্ট হয় এবং সর্বদা \(-1, 0, 1\) এর মধ্যে থাকে। সুতরাং, এটির মান নির্ভর করে \( x \) এর মানের উপর, তবে \( \sin \left( \frac{\pi}{2} \times x \right) \) এর মান সবসময় বাস্তব সংখ্যা \( \mathbb{R} \) এর মধ্যে থাকে।

অতএব, যখন প্রশ্ন করা হয়:

প্রশ্ন: \( \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) \) এর ডোমেন কত, যেখানে \( x \in \mathbb{Z} \)?

তাহলে, এর উত্তর হবে:

উত্তর: \( \mathbb{R} \)

কারণ, যেকোনো পূর্ণসংখ্যার জন্য, \( \sin \left( \frac{\pi}{2} \times x \right) \) মান রিয়েল সংখ্যা \( \mathbb{R} \) এর মধ্যে থাকে।