\( F(x) = -\frac{1}{|1-x|} \) ফাংশনের রেঞ্জ-

প্রশ্ন:

প্রদত্ত ফাংশন: \( F(x) = -\frac{1}{|1-x|} \)

ফাংশনের রেঞ্জ নির্ণয় করো।

সমাধান:

প্রথমে, লক্ষ্য করি যে, \(|1 - x|\) সবসময় ধনাত্মক বা শূন্য হতে পারে না, কারণ ডিভিশনের জন্য ডিনোমিনেটর শূন্য হওয়া উচিত নয়।

অতএব, \(|1 - x| \neq 0 \Rightarrow 1 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1\).

ধাপ ১: ফাংশনের ধরণ ও সীমা নির্ণয়

ফাংশন: \( F(x) = -\frac{1}{|1 - x|} \)

এখানে, \(|1 - x| > 0\) ছাড়া অন্য কিছু নয়।

ধাপ ২: মানের বিবেচনা

ধরি \( t = |1 - x| \), যেখানে \( t > 0 \)।

তাহলে, \( F(x) = -\frac{1}{t} \), যেখানে \( t > 0 \)।

ধাপ ৩: রেঞ্জ নির্ণয়

যেহেতু \( t > 0 \), তাহলে, \(-\frac{1}{t}\) এর মান ধনাত্মক নয় ও শূন্য নয়।

যখন \( t \to 0^+ \), তখন \( F(x) = -\frac{1}{t} \to -\infty \)।

অন্যদিকে, যখন \( t \to \infty \), তখন \( F(x) = -\frac{1}{t} \to 0^- \)।

উপসংহার:

অতএব, \( F(x) \) এর মান ধনাত্মক নয় এবং শূন্যের কাছাকাছি হতে পারে না, কিন্তু শূন্যের কাছাকাছি যেতে পারে না।

সুতরাং, রেঞ্জ হলো: \(\boxed{(-\infty, 0)}\)