cotθ = 12/5 এবং π < θ < 3π/2

tan2θ এর মান কত?

Another Explanation (5):

প্রশ্নের সমাধান:

দেওয়া আছে: \[ \cot \theta = \frac{12}{5} \] এবং \[ \pi < \theta < \frac{3\pi}{2} \] আমরা জানি: \[ \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \] অর্থাৎ, \[ \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{12}{5} \] অথবা, \[ \cos \theta = 12k,\quad \sin \theta = 5k \] এখানে \(k\) হলো একটি ধ্রুবক। কিন্তু, \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) থেকে: \[ (5k)^2 + (12k)^2 = 1 \] \[ 25k^2 + 144k^2 = 1 \] \[ 169k^2 = 1 \] অতএব, \[ k^2 = \frac{1}{169} \] \[ k = \pm \frac{1}{13} \] তবে, \(\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}\) এই কোণের জন্য (তালিকা ত্রিভুজে চতুর্থ বা তৃতীয় কোষে), \(\sin \theta\) নেতিবাচক এবং \(\cos \theta\) নেতিবাচক হয়। কারণ এই রেঞ্জে \(\sin \theta < 0\) এবং \(\cos \theta < 0\)। সুতরাং, আমরা পজিটিভের পরিবর্তে নেতিবাচক মান গ্রহণ করব: \[ k = -\frac{1}{13} \] অতএব, \[ \sin \theta = 5k = -\frac{5}{13} \] \[ \cos \theta = 12k = -\frac{12}{13} \] এখন, আমরা চাই: \[ \tan 2\theta \] যা: \[ \tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} \] প্রথমে, \(\tan \theta\): \[ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} = \frac{-5}{-12} = \frac{5}{12} \] এখন, \[ \tan 2\theta = \frac{2 \times \frac{5}{12}}{1 - \left(\frac{5}{12}\right)^2} = \frac{\frac{10}{12}}{1 - \frac{25}{144}} \] সরলীকরণ: \[ = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{144}{144} - \frac{25}{144}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{119}{144}} \] \[ = \frac{5}{6} \times \frac{144}{119} = \frac{5 \times 144}{6 \times 119} \] উপসাধন: \[ = \frac{720}{714} = \frac{120}{119} \] অতএব, উত্তর: \[ \boxed{\frac{120}{119}} \]