\( x-3y-2=0 \) রেখার উপর অবস্থিত P বিন্দুটি (2,3) এবং (6,-5) হতে সমদূরবর্তী হলে P বিন্দুটির স্থানাংক কত?

সমাধান:

ধরা যাক, বিন্দু P এর স্থানাঙ্ক \( (x, y) \)। এটি রেখা \( x - 3y - 2 = 0 \) এর উপর অবস্থিত।

অতএব, P এর স্থানাঙ্ক satisfy করবে:

\[ x - 3y - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3y + 2 \]

এখন, P বিন্দুটি দোর্দণ্ডভাবে দুটি বিন্দু \( A(2, 3) \) ও \( B(6, -5) \) থেকে সমদূরবর্তী। অর্থাৎ, P এর থেকে A ও B এর দূরত্ব সমান হবে।

অতএব, দূরত্বের সমীকরণ অনুযায়ী:

\[ PA = PB \]

দূরত্বের সূত্রে:

\[ PA = \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2} \]

\[ PB = \sqrt{(x - 6)^2 + (y + 5)^2} \]

প্রশ্নের জন্য, সমদূরত্বের জন্য:

\[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = (x - 6)^2 + (y + 5)^2 \]

(1) \quad (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = (x - 6)^2 + (y + 5)^2

1. প্রথমে, উপরের সমীকরণটি এক্সপ্যান্ড করি:

(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = x^2 - 12x + 36 + y^2 + 10y + 25

2. সব পাশে সমীকরণটি সরিয়ে নিই:

x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = x^2 - 12x + 36 + y^2 + 10y + 25

3. সদস্যগুলো বিন্যাস করি:

-4x + 4 + (-6y + 9) = -12x + 36 + 10y + 25

4. সব সমীকরণের ডান পাশে স্থানান্তর করি:

-4x + 4 - 6y + 9 - (-12x + 36 + 10y + 25) = 0

-4x + 4 - 6y + 9 - (-12x) - 36 - 10y - 25 = 0

-4x + 4 - 6y + 9 + 12x - 36 - 10y - 25 = 0

5. অ্যাট্রিবিউট গুণফল করি ও সরলীকরণ করি:

(-4x + 12x) + (4 + 9 - 36 - 25) + (-6y - 10y) = 0

8x + (-48) + (-16y) = 0

6. সমীকরণটি সাজাই:

8x - 16y = 48

প্রতি অংশ ভাগ করি 8 দ্বারা:

x - 2y = 6

এখন, রেখা \( x - 3y - 2 = 0 \) এর উপর P বিন্দুর জন্য, P এর স্থানাঙ্ক \( (x, y) \) এই সমীকরণ পূরণ করে।

আমরা জানি, \( x = 3y + 2 \)।

এখন, এই মানটি রেখার সমীকরণে বসিয়ে পাই:

\[ (3y + 2) - 2y = 6 \]

3y + 2 - 2y = 6

y + 2 = 6

y = 4

অতএব, x এর মান হবে:

x = 3(4) + 2 = 12 + 2 = 14

অতএব, P বিন্দুর স্থানাংক হলো \( (14, 4) \)।

উত্তর:

\( \boxed{(14, 4)} \)