Another Explanation (5): প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে: মূলব??ন্দু থেকে 3 একক দূরবর্তী এবং রেখার সমীকরণ \( 4x - 3y + 7 = 0 \) এর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে। উত্তরে দেওয়া অপশনগুলো হলো:
(i) \( 3x + 4y + 15 = 0 \)
(ii) \( 3x - 4y - 15 = 0 \)
(iii) \( 3x + 4y - 15 = 0 \)
---
প্রথমে উল্লেখ্য যে, মূলবিন্দু \( P(x_0, y_0) \) থেকে রেখার দূরত্ব \( d \) নিম্নরূপ:
\[
d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]
এবং রেখার সমীকরণ \( A x + B y + C = 0 \) হলে, এর লম্ব রেখার সমীকরণ হবে:
\[
A x + B y + D = 0
\]
যেখানে, \( D \) ঠিক করার জন্য, মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব \( d = 3 \) একক হয়।
---
ধরা যাক মূলবিন্দু \( P(x_0, y_0) \) যার উপর রেখা লম্ব এবং দূরত্ব 3।
প্রথমে, মৌলিক তথ্য:
রেখার সমীকরণ: \( 4x - 3y + 7 = 0 \)
নির্ণয় করি এর লম্ব রেখার সমীকরণ। যেহেতু, \( A = 4 \), \( B = -3 \), তাহলে লম্ব রেখার সমীকরণ হবে:
\[
4x - 3y + D = 0
\]
এবং মূলবিন্দু থেকে এই রেখার দূরত্ব:
\[
d = \frac{|4x_0 - 3y_0 + D|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|4x_0 - 3y_0 + D|}{5}
\]
আমাদের জানি, \( d = 3 \), তাই:
\[
|4x_0 - 3y_0 + D| = 15
\]
---
তবে, মূলবিন্দু থেকে রেখার দূরত্ব 3, তাই:
\[
|4x_0 - 3y_0 + D| = 15
\]
অন্যদিকে, যেহেতু রেখা লম্ব, তার সমীকরণ হবে \( 4x - 3y + D = 0 \) যেখানে \( D \) নির্ণয় করতে হবে। মূলবিন্দু থেকে এই রেখার দূরত্ব 3, অর্থাৎ:
\[
|4x_0 - 3y_0 + D| = 15
\]
আমরা জানি, মূলবিন্দু থেকে রেখার দূরত্ব:
\[
d = \frac{|4x_0 - 3y_0 + D|}{5} = 3
\]
অর্থাৎ,
\[
|4x_0 - 3y_0 + D| = 15
\]
---
এখন, মানে এই যে, মূলবিন্দু থেকে রেখার দূরত্ব কেবলমাত্র \( D \) এর উপর নির্ভর করে। কিন্তু মূলবিন্দু \( P(x_0, y_0) \) এর অবস্থান জানা নেই। তবে, যেহেতু প্রশ্নে দেওয়া অপশনগুলো, আমরা দেখব কোন সমীকরণটি মূলবিন্দু থেকে 3 একক দূরত্বে এবং লম্ব।
---
পরবর্তী, মূলবিন্দু থেকে রেখার দূরত্ব:
\[
d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]
এবং লম্ব রেখার সমীকরণ: \( 4x - 3y + D = 0 \)।
অতএব, \( A = 4 \), \( B = -3 \)।
প্রথমত, মূলবিন্দু \( P(x_0, y_0) \) থেকে রেখার দূরত্ব 3, তাহলে:
\[
3 = \frac{|4x_0 - 3y_0 + D|}{5}
\]
অর্থাৎ,
\[
|4x_0 - 3y_0 + D| = 15
\]
---
এখন দেখা যাক অপশনগুলো:
1. \( 3x + 4y + 15 = 0 \)
2. \( 3x - 4y - 15 = 0 \)
3. \( 3x + 4y - 15 = 0 \)
অথবা, এই সমীকরণগুলোর লম্ব রেখার সমীকরণ:
- অপশন (i): \( 3x + 4y + 15 = 0 \)
- অপশন (ii): \( 3x - 4y - 15 = 0 \)
- অপশন (iii): \( 3x + 4y - 15 = 0 \)
---
প্রথমে, অপশন (iii): \( 3x + 4y - 15 = 0 \)
এটির কাছাকাছি দেখতে গেলে, এই রেখার সাধারণ সমীকরণ \( A x + B y + C = 0 \) এর মধ্যে \( A = 3 \), \( B = 4 \), \( C = -15 \)।
এবং, এর লম্ব রেখার সমীকরণ হবে:
\[
3x + 4y + D' = 0
\]
এবং মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব:
\[
d' = \frac{|3x_0 + 4y_0 + D'|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3x_0 + 4y_0 + D'|}{5}
\]
আমাদের লক্ষ্য হলো যে, মূলবিন্দু থেকে এই রেখার দূরত্ব 3। অর্থাৎ:
\[
|3x_0 + 4y_0 + D'| = 15
\]
এবং, মূলবিন্দু থেকে এই রেখার দূরত্ব:
\[
d' = \frac{|3x_0 + 4y_0 + D'|}{5} = 3 \Rightarrow |3x_0 + 4y_0 + D'| = 15
\]
এখানে, যদি \( D' = -15 \), তাহলে:
\[
|3x_0 + 4y_0 - 15| = 15
\]
সাধারণত, এই সমীকরণে, মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব 3 একক হবে। এই সমীকরণের জন্য, মূলবিন্দু \( P \) এর অবস্থান নির্ণয় না করেও দেখা যায় যে, এই সমীকরণটি \( 3x + 4y - 15 = 0 \) এর লম্ব রেখার সমীকরণ।
অতএব, অপশন (iii) এই শর্ত পূরণ করে।
---
অপরদিকে, অপশন (i): \( 3x + 4y + 15 = 0 \):
অতএব, এই রেখার সমীকরণ:
\[
3x + 4y + 15 = 0
\]
এই রেখার লম্ব সমীকরণ হবে:
\[
3x + 4y + D'' = 0
\]
এবং দূরত্ব:
\[
d'' = \frac{|3x_0 + 4y_0 + D''|}{5}
\]
অর্থাৎ, মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব:
\[
|3x_0 + 4y_0 + D''| = 15
\]
যদিও, মূলবিন্দু থেকে এই রেখার দূরত্ব 3 একক হবে, তবে মূলবিন্দু এর অবস্থান নির্ধারণ না করে, এই সমীকরণ কে লম্ব রেখার সমীকরণ হিসেবে গ্রহণ করি, যেখানে দূরত্ব মান 15।
তাই, এটি মূলবিন্দু থেকে 3 একক দূরত্বের জন্য নয়। ফলে, এটি সঠিক নয়।
---
অতএব, শুধুমাত্র অপশন (iii): \( 3x + 4y - 15 = 0 \) এর জন্য, মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব 3 একক হয়, ও এটি লম্ব রেখার সমীকরণ।
সুতরাং, সঠিক উত্তর: **i, iii**।
---
**চূড়ান্ত উত্তর:**
```html
প্রথমে, মূলবিন্দু থেকে রেখার দূরত্ব সূত্র অনুযায়ী, রেখার সমীকরণের জন্য:
\[ d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]
এবং, একটি রেখার লম্ব সমীকরণ হবে:
\[ A x + B y + D = 0 \]
এবং, মূলবিন??দু থেকে দূরত্ব 3 একক, তাই:
\[ |A x_0 + B y_0 + D| = 15 \]
প্রশ্নে দেওয়া রেখা: \( 4x - 3y + 7 = 0 \)
অতএব, এর লম্ব রেখার সমীকরণ হবে:
\[ 4x - 3y + D = 0 \]
এবং, মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব:
\[ 3 = \frac{|4x_0 - 3y_0 + D|}{5} \Rightarrow |4x_0 - 3y_0 + D| = 15 \]
অতএব, দুই সমীকরণের মধ্যে সম্পর্ক হলো:
\[ |4x_0 - 3y_0 + D| = 15 \]
অপশনগুলো পরীক্ষা করে দেখা যায়, অপশন (iii): \( 3x + 4y - 15 = 0 \), এবং অপশন (i): \( 3x + 4y + 15 = 0 \) এই দুটি রেখার জন্য মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব 3 একক হয় না, তবে অপশন (iii) এর জন্য সত্যি।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো: i, iii
```
