2cm দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা কোণ বৃত্তের কেন্দ্রে  π /4 কোণ উৎপন্ন করলে বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত ? 

দেওয়া আছে, জ্যা-এর দৈর্ঘ্য \( l = 2 \) সেমি এবং কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ \( \theta = \frac{\pi}{4} \) । আমাদের বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।

ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ \( r \) ।

আমরা জানি, \( l = 2r \sin(\frac{\theta}{2}) \)

সুতরাং, \( 2 = 2r \sin(\frac{\pi}{8}) \)

অতএব, \( r = \frac{1}{\sin(\frac{\pi}{8})} \)

আমরা জানি, \( \sin(\frac{\pi}{8}) = \sqrt{\frac{1 - \cos(\frac{\pi}{4})}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}{2}} = \sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2}}} \)

সুতরাং, \( r = \sqrt{\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}} \)

বৃত্তের ক্ষেত্রফল, \( A = \pi r^2 = \pi \cdot \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \)

এখন, \(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{4 + 2\sqrt{2}}{2 - 1} = 4 + 2\sqrt{2} \)

সুতরাং, \( A = \pi (4 + 2\sqrt{2}) \approx 3.1416 \times (4 + 2 \times 1.4142) \approx 3.1416 \times 6.8284 \approx 21.447 \) বর্গ সেমি।

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল প্রায় \(21.45\) cm²। 🤔

দেওয়া উত্তরটির(20.5 cm²) সাথে এই উত্তরের সামান্য অমিল আছে।