(0, 2) বিন্দুটি \( y = 5x^2 + 3x + c \) বক্ররেখার উপর অবস্থিত। ঐ বিন্দুতে বক্ররেখার উপর অঙ্কিত স্পর্শক \( ax + cy + 1 = 0 \) রেখার সমান্তরাল হলে a এর মান কত?

Explanation: Hints: ● বক্ররেখাকে অন্তর্ভুক্ত করে স্পর্শকের ঢাল পাওয়া যায়। ● সমান্তরাল রেখাসমূহের ঢাল সমান হয়। Solve: \(y = 5x^2 + 3x + c \ldots (i)\) (i) নং রেখা \((0, 2)\) বিন্দুগামী বলে, \(2 = c\) ∴ \(y = 5x^2 + 3x + 2\) (i) নং রেখাকে অন্তর্ভুক্ত করে, \(y_1 = 10x + 3\) \((0, 2)\) বিন্দুর ঢাল, \(m_1 = y_1 = 10 \cdot 0 + 3 = 3\) আবার, \(ax + cy + 1 = 0\) রেখা বা এর সমান্তরাল রেখার ঢাল, \(m = -\frac{a}{c}\) \(m_1 = m \implies 3 = -\frac{a}{c}\) \(\implies a = -3c = -3 \cdot 2 = -6 \quad [: c = 2]\) Ans. (E)

Another Explanation (5): ```html

সমাধান

যেহেতু (0, 2) বিন্দুটি \( y = 5x^2 + 3x + c \) বক্ররেখার উপর অবস্থিত, তাই এই বিন্দুটি বক্ররেখার সমীকরণকে সিদ্ধ করবে।

অতএব, \( 2 = 5(0)^2 + 3(0) + c \)
সুতরাং, \( c = 2 \) 🥳

তাহলে বক্ররেখার সমীকরণ: \( y = 5x^2 + 3x + 2 \)

এখন, \( \frac{dy}{dx} = 10x + 3 \)
(0, 2) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল, \( m = \frac{dy}{dx} |_{(0,2)} = 10(0) + 3 = 3 \)

দেওয়া আছে, \( ax + cy + 1 = 0 \) রেখাটি ঐ স্পর্শকের সমান্তরাল।
সুতরাং, \( ax + 2y + 1 = 0 \) রেখাটির ঢাল \( = -\frac{a}{2} \)

যেহেতু রেখাটি স্পর্শকের সমান্তরাল, তাই তাদের ঢাল সমান হবে।
অতএব, \( 3 = -\frac{a}{2} \)
সুতরাং, \( a = -6 \) 🤩

অতএব, a এর মান -6।

```