Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(f(x) = \frac{x}{|x|}\) ফাংশনের রেঞ্জ কোনটি?
উত্তর: \(\{-1, 1\}\)
সমাধান:
প্রথমে, ফাংশনের ডিফারেন্সিয়াল ডেফিনিশন অনুযায়ী \(f(x) = \frac{x}{|x|}\)।
- যদি \(x > 0\), তাহলে \(|x| = x\), তাই:
\[
f(x) = \frac{x}{x} = 1
\]
- যদি \(x < 0\), তাহলে \(|x| = -x\), তাই:
\[
f(x) = \frac{x}{-x} = -1
\]
- \(x = 0\) হলে, \(|x|=0\), তবে ডিভিশন বাই নুল হয়, তাই \(f(x)\) সংজ্ঞায়িত নয়।
অতএব, \(f(x)\) এর মান শুধুমাত্র \(-1\) বা \(1\) হতে পারে, যা সকল ধনাত্মক \(x\) এর জন্য \(1\) এবং সকল ঋণাত্মক \(x\) এর জন্য \(-1\)।
অতএব, ফাংশনের রেঞ্জ হলো:
\[
\boxed{\{-1, 1\}}
\]
