2, √5 এবং 3 মানের তিনটি বল কোনো একটি বিন্দুতে কার্যরত । যদি তারা পরস্পর ভারসাম্য সৃষ্টি করে, তাহলে প্রথমোক্ত বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের মান নিচের কোনটি ?

Another Explanation (5): প্রশ্নে দেয়া হয়েছে তিনটি বল: 2, \(\sqrt{5}\), এবং 3, যেগুলি একটি বিন্দুতে স্থির রয়েছে এবং পরস্পর ভারসাম্য সৃষ্টি করছে। আমাদের লক্ষ্য হল প্রথম বল (2) এবং দ্বিতীয় বল (\(\sqrt{5}\)) এর মধ্যবর্তী কোণের মান নির্ণয় করা। ধরা যাক, তিনটি বলের অবস্থান যথাক্রমে \(A\), \(B\), এবং \(C\) বিন্দুতে অবস্থিত। বলগুলো \(A\), \(B\), এবং \(C\)-এ অবস্থিত যেখানে: \(AB = 2\), \(BC = \sqrt{5}\), এবং \(AC = 3\)। এখন, এই তিনটি বলের ভারসাম্য স্থাপনের জন্য, তারা একই সমান্তরাল অনুভূমিক রেখায় অবস্থান করছে বলে ধরা যাক। প্রতিটি বলের উপর একটি বলের প্রতিক্রিয়া বা বলের মান দেয়া হয়েছে। প্রথম বলের মান \(F_1 = 2\) দ্বিতীয় বলের মান \(F_2 = \sqrt{5}\) তৃতীয় বলের মান \(F_3 = 3\) তারা ভারসাম্য বজায় রাখতে, বলের দিক ও মানের উপর ভিত্তি করে উপযুক্ত কোণে অবস্থান করতে হবে। এখন, বলগুলো ভারসাম্যপূর্ণ হলে, তাদের আর্ক বা কোণের মান নির্ণয় করতে হবে। প্রথম বল (2) এবং দ্বিতীয় বল (\(\sqrt{5}\)) এর মধ্যে যে কোণ রয়েছে, সেটি নির্ণয় করতে, আমরা মনে করি এই বলগুলো একটি সমতলের দুই কোণে অবস্থিত এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ হলো \(\theta\)। তাদের ভারসাম্যপূর্ণ অবস্থা অনুযায়ী, বলের মান ও কোণের সম্পর্ক হলো: \[ \frac{F_1}{\sin \theta} = \frac{F_2}{\sin (180^\circ - \theta)} \] কিন্তু, \(\sin (180^\circ - \theta) = \sin \theta\), তাই, \[ \frac{2}{\sin \theta} = \frac{\sqrt{5}}{\sin \theta} \] অর্থাৎ, এই সমীকরণ থেকে বোঝা যায় যে, বলের মান ও কোণের মধ্যে সরাসরি সম্পর্ক নেই। তবে, ভারসাম্যপূর্ণ অবস্থায়, বলের মানের অনুপাত ও কোণের মান সম্পর্কিত সাধারণ সূত্র হলো: \[ \frac{F_1}{\sin \alpha} = \frac{F_2}{\sin \beta} \] এখানে, \(\alpha\) এবং \(\beta\) হলো বলের প্রতিপ্রতিষ্ঠা কোণ। যেহেতু, বলগুলো ভারসাম্যপ্রাপ্ত, তাই, \(\alpha + \beta = 180^\circ\)। অর্থাৎ, \(\alpha\) ও \(\beta\) এর যোগফল 180° হলে, তাদের মধ্যে মধ্যবর্তী কোণ \(\theta = \alpha = \beta = 90^\circ\)। অতএব, প্রথম বল (2) এবং দ্বিতীয় বল (\(\sqrt{5}\)) এর মধ্যবর্তী কোণ হলো: \[ \boxed{90^\circ} \] **উত্তর:** 90°