একটি গ্রহ O বিন্দুকে কেন্দ্র করে ABC উপবৃত্তাকার পথে ঘোরে। BOC এর ক্ষেত্রফল AOB এর ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ। BC পথ অতিক্রম করতে গ্রহটি 4 ঘণ্টা সময় লাগলে BA অতিক্রম করতে গ্রহটির কত ভ ঘণ্টা সময় লাগবে?

প্রথমে প্রশ্নের তথ্য অনুযায়ী ধরি:

• গ্রহ O বিন্দুকে কেন্দ্র করে ABC উপবৃত্তাকার পথে ঘোরে।
• BOC এর ক্ষেত্রফল AOB এর ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ।
• BC পথ অতিক্রম করতে গ্রহটি 4 ঘণ্টা সময় নেয়।

ধরি, AO এবং BO রেডিয়াস।

উপবৃত্তের ধ্রুবক, অর্থাৎ উপবৃত্তের অক্ষের উপর ভিত্তি করে, ক্ষেত্রফল নির্ভর করে অক্ষের উপর।

প্রথমে, OAB এবং OBC কোণের ক্ষেত্রফল সম্পর্কিত তথ্য বিবেচনা করি।

চিত্রটি অনুযায়ী, AB এবং BC গমনকালীন পথ।

যেহেতু, BOC এর ক্ষেত্রফল AOB এর দ্বিগুণ, তাই:

Area(BOC) = 2 × Area(AOB)

এখানে, ক্ষেত্রফল সম্বন্ধে জানার জন্য, মনে করি, O থেকে B ও C এর রেডিয়াসের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে r এবং s।

উপবৃত্তের কেন্দ্র O থেকে B ও C এর রেডিয়াস: r ও s।

অতএব, ক্ষেত্রফল:

Area(AOB) = ½ × r × distance(AB)

Area(BOC) = ½ × s × distance(BC)

উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল সম্পর্ক অনুযায়ী:

½ × s × BC = 2 × (½ × r × AB)

s × BC = 2 × r × AB

যেহেতু, গ্রহটি BC পথ অতিক্রম করতে 4 ঘণ্টা সময় নেয়, এবং ধরা হোক, গ্রহের গতি সমান হয়, তবে:

Time ∝ Path length / Speed

এখন, গ্রহটি AB পথ অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে তা নির্ণয় করতে হবে।

প্রতিটি পথের দৈর্ঘ্য অনুযায়ী:

Time(AB) = (AB / BC) × Time(BC)

এবং, BC এর জন্য 4 ঘণ্টা, তাহলে:

Time(AB) = (AB / BC) × 4

উপরের সমীকরণে, s × BC = 2 × r × AB থেকে বোঝা যায়:

AB / BC = s / (2 × r)

কিন্তু, উপবৃত্তের অক্ষের উপর ভিত্তি করে, এই অনুপাতটি সরাসরি নির্ণয় করতে হবে।

তবে, সাধারণত, উপবৃত্তের অক্ষের উপর ভিত্তি করে, ক্ষেত্রফল দ্বিগুণ হলে, সময়ের অনুপাত দ্বিগুণ হয়।

অর্থাৎ, যদি BC পথের জন্য সময় হয় 4 ঘণ্টা, তাহলে, সমান অনুপাত অনুযায়ী, AB পথ অতিক্রমে সময় হবে:

V = 2 ঘণ্টা

অতএব, উত্তর হলো: 2 ঘণ্টা.